部分積分、置換積分

積分の問題がでたとき、部分積分で解くのか置換積分で解くのか区別ができません。何か区別の仕方とかあるのでしょうか。教えてください。

No.1 回答者： Willyt 回答日時： 2007/09/12 20:47

練習問題を沢山試して下さい。

自然に分るようになりますよ(^_^)

No.2 回答者： syouji_08 回答日時： 2007/09/12 21:00

試行錯誤しかありません．．。

部分積分が駄目なら次は置換積分でとか．．といった形で地道に解法を見つけるしかありません。

それから、
#1さんのおっしゃるように類題を多くこなして行く事で、見分けるコツが自然と身につくかと思います。

No.3 回答者： adinat 回答日時： 2007/09/12 21:37

数をこなせば確かに自然に出来るようになりますが、せっかくなので、基本的な判断の仕方を述べておきます。

置換積分をする問題は非常に多岐にわたり、なおかつ置換の仕方も一通りではないので、部分積分でうまくいくかどうかの判断基準を述べます。

(i)三角関数×多項式
∫(x+1)(sin x)dx
など。これは多項式を微分、三角関数を積分して部分積分すればよいです。多項式の次数がたとえば3次なら三回部分積分します。
(ii)指数関数×多項式
∫(x+1)e^x dx
これも(i)と同じ。
(iii)対数関数×多項式
∫x log x dx
今度は多項式の方を積分、logを微分します。特に多項式の部分が定数のときも1を積分することにより解決します。
(iv)指数関数×三角関数
∫e^x(sin x) dx
これは求めたい積分をIとおいて、二回部分積分をすると、再びIが出てきます。その方程式を解いてIを求めます。

上の4つの部分積分は超基本であり、なおかつ、大学入試で問われる部分積分の8割以上が上のどれかに属するので、この4つを見たらすぐ部分積分だと判断できるようになりましょう。それ以外の問題は、公式一発で解ける問題か、置換積分をする問題であろう、ということです。

No.4 ベストアンサー 回答者： ka1234 回答日時： 2007/09/13 02:10

こんにちは。

「部分積分法」は「積の微分法」の逆で、
「置換積分法」は「合成関数の微分法」の逆というのは分かりますよね。

と言う事で、「積分」をするときはいつも頭の中で「微分」しながらやると
良いでしょう。検算にもなります。

「置換積分」と「部分積分」の見分け方のアドバイスは私にはできないので、
推薦図書を２つあげておきます。参考になればよいのですが。

たくさん問題を解いて（やっぱりこれは大前提です）、解く問題が無くなってきたら、
難しめのものに挑戦しましょう。次の２つを通り抜けられたらとりあえず積分計算に
関しては大丈夫と思って下さい。

・解法の探求II（東京出版）の原則編「積分（１）」
・微積分/基礎の極意（東京出版）の第一部「計算力のチェック」

置換積分と部分積分の重要問題が集められています。
これらは数学苦手気味の方には難しいと思います。他の参考書が良いでしょう。
難関大学を目指されるのであれば、上のどちらかを手にとってみることを
お勧めします。受験会場で、どちらかを開いている人が結構いるはずです。頑張って下さい。