A 回答 (3件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.3
- 回答日時:
>他にはないんですか?」と問うと「え?普通これが位数4の乗積表だけど…。
他は知らない…。」繰り返しますが,「位数4の群」は複数存在します.
まさ先生じゃないですよね・・「他は知らない」なんて
数学の先生ならいうはずがないです.
言ってしまいましょう.
位数4の群は「クラインの四元群」と「巡回群」Z4です.
クラインの四元群は,iを虚数単位として
{1,i,-i,-1} と書ける群で,「正二面体群」とも呼ばれます.
また,Z2 x Z2と書くこともできます.
乗積表は以下の通り
1 i -i -1
1 1 i -i -1
i i -1 1 -i
-i -i 1 -1 i
-1 -1 - i i 1
これ以外には存在しません.
これは群の定義で初等的に導けます.
G={e,a,b,c}が群をなすとする.eは単位元とする.
(a,b,cは単位元ではない)
a^2=aとすると,a=eとなるので
a^2=e または a^2=b または a^2=c である.
(1) a^2=e のとき
(1-a) b^2 = e だと仮定する.
ab=aとするとb=e,ab=bとするとa=e
ab=eとするとa=b^{-1}=b
これらは矛盾.したがって,ab=c
同様にして,ba=cなので,ab=ba
したがって,G={e,a,b,ab} a^2=b^2=e,ab=ba
#これが「四元群」
(1-b) b^2=a と仮定する
ab=aとするとb=e,ab=bとするとa=e
よって,ab=eまたはab=c
ab=e とすると,a = b^2 = a^{-2} なので a^3 = e
a^2=e が仮定されているので a=e となり矛盾
したがって,ab = c
b^2=aだったので.c=ab=b^3
#b^4=a^2=eであることに注意
つまり,G={e,b^2,b.,b^3} これが巡回群
(1-c) b^2=c と仮定する
これは (1-b)でaとcを取り替えればよい
(2) a^2=b のとき
(2-a) b^2 = e だと仮定する.
(1-b)と同様である
・・・・以下,同じように場合わけを繰り返す
#本当はもっとすっきり整理できますが
#群の定義しか使わない場合は,地道に分類していくことになります.
とこういう具合です.
こだわってらっしゃる「効率的な方法」は
位数4の場合は,
上でふれた「もっとすっきり整理した」ものが
それに相当します.
#「元の位数」は「群の位数」の約数であることがポイント
一般論としては,剰余群とか類等式・ラグランジュの定理を始め,
シローの定理くらいまでは初等的な道具です.
No.2
- 回答日時:
>複数か単数かを判別する方法ってあるのでしょうか?
あるといえばあるし・・・ないといえばないような。。。
位数を与えてその群の構造を決定するというのは
とてもとても深遠な問題です,とくに位数が巨大な場合は.
>もしかして残り9マスだから4^9通りの場合で群をなすか調べねばならないんですかね。
そう思ったらやってみるのです.
ただし,最初に全パターンを書き出すのは無駄すぎます.
数独のように「もしここがXXだったら」と処理しましょう.
やってるうちに規則が見えてきます.実際は9マス全部が
自由なわけではなく,かなり「束縛」があることが分かります.
実際にこういう地道な作業をすると
皮膚感覚みたいなものが身についてきます.
これはとても有用です.
群の定義がいかに強いものか,
どれほど考え抜かれてできたものかが見えてきますよ.
#もうちょっと習えばすごいものが色々出てきます.
====================
位数4の群は複数存在します.
何個あるかはあえていいません(有名なので何かの本にでてるはず).
地道に場合わけして,群の定義を適用していくことで
初等的に証明できます.
時間が無くて遅くなりましてすいません。
> >複数か単数かを判別する方法ってあるのでしょうか?
> あるといえばあるし・・・ないといえばないような。。。
:
> どれほど考え抜かれてできたものかが見えてきますよ.
> #もうちょっと習えばすごいものが色々出てきます.
時間があればやってみたいと思います。
> ====================
> 位数4の群は複数存在します.
> 何個あるかはあえていいません(有名なので何かの本にでてるはず).
うーん、見つけれませんでした。どうやって求めるのでしょうか?
> 地道に場合わけして,群の定義を適用していくことで
> 初等的に証明できます.
因みに正解はZ_4に見立てて
・,0,1,2,3
0,0,1,2,3
1,1,2,3,0
2,2,3,0,1
3,3,0,1,2
でした。「他にはないんですか?」と問うと「え?普通これが位数4の乗積表だけど…。他は知らない…。」
Z_4に見立てない場合(紛らわしいので文字で表します),位数4 {a,b,c,d}が群をなす時の乗積表の効率の良い作り方をお教え下さい。
No.1
- 回答日時:
単純に 4 つの元 {a_1, a_2, a_3, a_4} から成る群 G ということですか?
その場合、群の構造は複数の可能性がありますね。すべてを列挙したいのですか?
> 単純に 4 つの元 {a_1, a_2, a_3, a_4} から成る群 G ということですか?
はい。
> その場合、群の構造は複数の可能性がありますね。
複数か単数かを判別する方法ってあるのでしょうか?
> すべてを列挙したいのですか?
できれば。。。
もしかして残り9マスだから4^9通りの場合で群をなすか調べねばならないんですかね。調べ方は単純に9マスを適当に埋めて結合法則が成り立つかどうか地道な作業を行なうしかないんでしょうか?
効率的な方法って無いんでしょうか?
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 単位元について 2 2022/09/11 22:56
- 数学 0の逆数について 7 2022/07/21 16:24
- 統計学 代数学 対称群 同型 2 2022/05/09 20:32
- 数学 加群におけるテンソル積の存在証明 1 2022/09/26 02:36
- 物理学 『絶対真空温度』 5 2022/04/25 09:55
- 数学 加群の双線形について 2 2022/10/20 22:11
- 英語 All patients who received two adjacent nonsubmerge 4 2022/10/27 00:13
- 高校 行列のかけ算 2 2022/06/24 17:12
- 数学 群 変換群 2 2023/03/02 15:34
- 政治学 総理大臣や大統領の居ない民主主義って不可能なんでしょうか? 国のリーダーを多数決で決めると必ず少数の 3 2023/06/07 13:22
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3の途中式
-
異なる2つの無理数の積について
-
三重根号を簡単にする問題です...
-
数1因数分解 27a3− b3 の答え...
-
他の式を利用した因数分解 x^3+...
-
「因数定理」は、いつ習います...
-
lim{(a^x+b^x)/2}^1/x x→0 (a...
-
アーベル群
-
AまたはBが空集合⇔A×B=Φ ???
-
この不定積分が解けません
-
ax + by (a,bは自然数で互いに...
-
立方完成,N乗完成は存在するの?
-
整数問題 大至急
-
平方完成の問題を解いていて疑...
-
数Aの問題について
-
高校1年の因数分解なんですけ...
-
相加相乗平均の関係
-
6の倍数であることを証明
-
数学の問題
-
高1の数学の問題で、(a+b)(a−b...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
三重根号を簡単にする問題です...
-
(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3の途中式
-
「因数定理」は、いつ習います...
-
【数学】2√3の整数部分をa, 少...
-
異なる2つの無理数の積について
-
|a|-|b|≦|a-b| 等号成立
-
a^n+b^nの因数分解の仕方
-
lim{(a^x+b^x)/2}^1/x x→0 (a...
-
数学
-
6の倍数であることを証明
-
ab>a+bは常に成り立つでしょうか?
-
群の乗積表の作り方は?
-
2離れた奇数が互いに素なこと...
-
他の式を利用した因数分解 x^3+...
-
数学II x^2-2x+9+2√15=0 の解の...
-
因数分解の公式 a^3+b^3=(a+b)(...
-
数学の問題をといてください。
-
平方すると、-18i になる複素数...
-
この不定積分が解けません
-
高一数学です。なるべくお早め...
おすすめ情報