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(1)
2x+3y≦6n, x≧0, y≧0 (aは正の整数)
を満たす点P(x,y)で、x,yがどちらも整数であるもの(格子点)の個数を求めよ。
(2)
2x+3y+6z≦6n, x≧0, y≧0 z≧0 (aは正の整数)
を満たす点P(x,y,z)で、x,y,zがすべて整数であるもの(格子点)の個数を求めよ。
という問題で、
(1)は不等式を図示して
y=k(k=1,2・・・)とy=-(2/3)x+2n の交点は( 3n-(3/2)k , k )
交点が整数であるために2k=mとおくと、
y=m上の格子点の数は 3n-3m+1
よって、1≦y≦2nにおいて、y=(偶数)上の格子点の数は
Σ[m=1,n](3n-3m+1)
=(3/2)n^2-(1/2)n
また図から、y=2k-1上の格子点の数は
y=2k=m上の格子点の数より1多いので、
1≦y≦2nにおいて、y=(奇数)上の格子点の数は
Σ[m=1,n]{3n-3m+2}
=(3/2)n^2+(1/2)n
y=0上の格子点の数は3n+1より、
求める値は
(3/2)n^2-(1/2)n+(3/2)n^2+(1/2)n+3n+1
=3n^2+3n+1
ここまでは分かりました。
(2)はどうやっていいか手の付け方も分かりません。
(1)を使って簡単にして解くような気はします(分かりませんが)。
分かる方お願いします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
#2です
方程式 2x+3y+6z=6n は、x-y-z空間での平面を表す方程式ですね。
この平面は3点、(3n,0,0)(0,2n,0)(0,0,n)を通ります。(それぞれの値を代入して方程式が成立する)
(この3点を通る平面の方程式ということです)
立体図形を考えずに式変形で追っていくなら、z=1 のとき 2x+3y+6z=6n は 2x+3y=6(n-1)
ですから、格子点の数は3n^2+3n+1のnの値を1つ小さくしたものとわかります。
それだと味気ないので、立体図形を考えると、
四面体を平面z=1で切った切り口は、(切り口の平面を改めて新しいx-y平面と考えれば)
(0,0)(3(n-1),0)(0,2(n-1))の3点を結ぶ三角形だとわかります。
No.4
- 回答日時:
#1 です. 大意は #3 と同じです.
2x + 3y ≦ 6(n-z) から z ≦ n は明らかだし, 整数 k に対して z = k のときの整数点の個数も (1) で計算できてるでしょって話.
No.2
- 回答日時:
(1)はx-y平面上の、(0,0)(3n,0)(0,2n)の3点を結ぶ三角形の内部(境界を含む)の格子点の数を求めました。
(2)はx-y-z空間の、(0,0,0)(3n,0,0)(0,2n,0)(0,0,n)の4点を結ぶ四面体の内部(境界を含む)の格子点の数を求めます。
この四面体をz=0,1,2,3,・・・,n 平面で次々に切っていくと、それぞれの格子点の数は、
z=0 のとき(これはx-y平面そのまま) 3n^2+3n+1個
z=1 のとき 3(n-1)^2+3(n-1)+1個
z=2 のとき 3(n-2)^2+3(n-2)+1個
・・・
z=n のとき 3(n-n)^2+3(n-n)+1=1 個
となるので、
Σ[k=0,n](3k^2+3k+1)
を計算すればよいことがわかります。
回答ありがとうございます。
>(0,0,0)(3n,0,0)(0,2n,0)(0,0,n)
とありますが、(0,0,n)の値はどうやって出しましたか?
(1)の時はy=-(2/3)x+2nとx,y軸の交点を出す方法で出来ましたが、
(2)は変数が3つあるのでやり方がわかりません。
>z=1 のとき 3(n-1)^2+3(n-1)+1個
底面をxy平面とすると、z軸の正の方に向かっていくと
3n^2+3n+1のnの値が1つずつ小さくなっていくということですよね?
どうして1つずつ小さくなっていくと分かったのですか?
詳しく聞いてごめんなさい。
お願いします。
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