数学の「または」は、「

Question

少なくとも一方が成り立つ」（両方成立してもよい）
 ということであり、どちらも同時に成り立つ場合も含む。
 って書いてありましたが、

両方成立してはだめな「または」は高校数学の範囲においては、本当にないのですか？ 
関数ｙ＝ax^2などで、仮にx=1,2となったときの「,」は、「または」で、両方成立してはだめですよね？

おねがいします_(._.)_

stomachman · Accepted Answer

> 両方成立してはだめな「または」は高校数学の範囲においては、本当にないのですか？

というご質問については、既にイロイロ回答が出ているようなので、以下は蛇足ですが:

=======================

> 数学の「または」

正確には『論理学の「または」』というべき所。論理学は数学の基礎として用いられています。もちろん、

> 少なくとも一方が成り立つ」（両方成立してもよい）

というご理解は正しい。

> 関数ｙ＝ax^2などで、仮にx=1,2となったときの「,」は、「または」で、両方成立してはだめですよね？

ある方程式f(x)=0（たとえば(x-1)(x-2)=0）の解が
　　x=1,2
と書かれるのは、ソモソモ正式の書法ではありません。（なので、「x=1,2」の","を「または」なんて読むのも不適切です。）「方程式を解け」というのは、「方程式の解全て（すなわち方程式を満たすx全て）を含み、それ以外のものを含まない集合（「解の集合」）」を[出題者が解答者に]求める、という意味。なので、「方程式(x-1)(x-2)=0を解け」に対する解答は
　x∈{1,2}
です。論理を使った書き方をすれば
　　任意のxについて　（x∈{1,2} と (x-1)(x-2)=0 とは互いに同値（必要十分条件）である）
ということ。論理学の記号（一階述語論理）を使うと
　　∀x( x∈{1,2} ⇔ (x-1)(x-2)=0)
となります。その略記法として「x=1,2」と書いて済ませているに過ぎません。

さて、集合{a,b}はいくつの要素を持っているか。実はこれがナント2個とは限らない。1個かも知れないんです。なぜかというと、同じものをいくつ並べたってそれらを別々には数えないのが集合のルールだからで、例えば
　{1,1} = {1}
である。集合{1,1}の要素は1個だけ。

kacchann · Answer

No.3です。
質問者さんの知りたいこととは違った、
見当違いの方向性のこと書いかも。
ごめんなさい

ddtddtddt · Answer

「両方成立してはだめな「または」」は、高校数学の範囲ではたぶんないです。ただしこれは、「両方成立してはだめな「または」」の考えがない事とは違います。じっさい「両方成立してはだめな「または」」には、排他的論理和という正式名称もあります。

数学は必要最低限の道具立てで話を進める癖を持っているので、排他的論理和を正面切って定義してないだけです。排他的論理和は、論理和（「または」の事）と論理積（「かつ」の事）と否定（「～ではない」の事）から、

（ＡまたはＢ）かつ（ＡかつＢではない）　　　　(1)

になります。これに排他的論理和とか、「またはダッシュ」とかの名前を与えてないだけですよ。コンピューターの世界では、排他的論理和は、(1)で明確に定義されます。どうしてかと言うと、（意外な事に？）コンピューターの世界の方が、数学の世界より日常生活に近いので、排他的論理和を明確に定義しておかないと不便だからです。

そして排他的論理和の考えは、気づかぬうちに、けっこう使っているのが普通だと思います。

＞関数ｙ＝ax^2などで、仮にx=1,2となったときの「,」は、「または」で、両方成立してはだめですよね？

x＝1かつx＝2は、等号と数の性質から自明に成り立たないので、「x＝1またはx＝2」は自然に排他的論理和になっていますが、面倒臭いので大抵はその事に言及しません。

（x＝1またはx＝2）かつ（x＝1かつx＝2は不成立）　　　　(2)

なんて言うのは、あほ臭いですよね？・・・(^^)

Tofu-Yo · Answer

高校数学でも大学数学でも「または」が「両方成立してはならない」となることはありません。

～してはならない
と
～してもよい
を混同しています。

「または」は両方成立している場合を含みますが、これは、「両方成立してもよい」であって「両方成立する場合がなくちゃならない」ではありません。

2次方程式x=1,2は「1または2」の意味ですが、別に両方成立する場合がなくてはならないという意味ではないので「1かつ2」がありえないからといって「または」という表現に問題はありません。

「または」の意味はあくまで、「どちらか片方が成立するか、もしくは両方成立する場合がもしあるならそれでもかまわない」ととらえてください。

kacchann · Answer

>関数ｙ＝ax^2などで、仮にx=1,2となったときの「,」は、「または」で、
>両方成立してはだめですよね？

関数、ではなくて、方程式ですよね。
例を挙げて説明します。

「方程式x^2=0の実数解を求めよ」という問題があったばあい、
これは「実数解の全てを求めよ」という意味です。そういう約束になってます。
そこをまずおさえてください。
だから答えとしては「x=0」のみです。
解でないものは含めてはいけない決まりになってます。

言い方を変えれば、
x^2=0の必要十分条件がx=0、ということです。
もしくはx^2=0とx=0は同値である、ということ。
---

特に「方程式の解を求めよ」というわけではなく、
単に「x^2=0」という条件からは
「x=0または-1」(a)
とか
「x=0または、もっといろいろな実数」(b)
とか、何でもいえちゃいます。

言い方を変えれば
a,bなどは、
x^2=0の必要条件、
ということです。
かならずしも必要十分条件(つまり同値)ではないということです。
図を書いて確認されたし)

asuncion · Answer

＞関数ｙ＝ax^2などで、仮にx=1,2となったときの「,」は、「または」で、両方成立してはだめですよね？

問題の条件によると思います。
何も条件が与えられていなければそのまま解とすればいいですし、
仮に「ただし、x>1とする」という条件があったとすればx=1は不適ですから
x=2だけが答えとなります。

moconyan9 · Answer

数学でならう
または・・・・
というのは、集合論という分野の学問です。

この考え方を積み上げていって、コンピュータの演算回路をつくったりします。
または・　　　は、二次関数のエックス軸との交わる点を考えたりするのとは、なじまないかもしれません。どちらかというと、電流の流れとか、川の流れが二股に判れているのが
水が流れたりせき止められたりというのとイメージが近いかもしれません。

関数の解を定義する場合は　または　（ただし両方成立する場合を除く）　というのを
記号で記述して　表すことになります。

数学の「または」は、「

> 両方成立してはだめな「または」は高校数学の範囲においては、本当にないのですか？

No.3です。

「両方成立してはだめな「または」」は、高校数学の範囲ではたぶんないです。

高校数学でも大学数学でも「または」が「両方成立してはならない」となることはありません。

>関数ｙ＝ax^2などで、仮にx=1,2となったときの「,」は、「または」で、

＞関数ｙ＝ax^2などで、仮にx=1,2となったときの「,」は、「または」で、両方成立してはだめですよね？

数学でならう

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