計算問題と二重根号！！

今回は三問分からないのです。詳しい説明があると嬉しいので、よろしくお願いします！！

まずは一問
４a~2-b~2分の２a~2 - b-２a分のa-b
です。途中計算が問題なんですけど・・。

後二問は、二重根号です。
√x+２√x-１ と　√x-√x~2-１
の二つです。公式を使うにも当てはまらないですし・・。
お願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： aster 回答日時： 2002/08/28 19:31

　

＞４a~2-b~2分の２a~2 - b-２a分のa-b

(４a~2-b~2分の２a~2) - (b-２a分のa-b)　と考えます。

この問題は，分母を揃えて引き算します。

4a^2-b^2＝(2a+b)(2a-b)　　因数分解します。

(b-2a)＝-(2a-b) ですから、第二の項には、-(2a+b) をかけるとよいことになります。

すると、
分母＝(2a+b)(2a-b)
分子＝2a^2-[-(2a+b)(a-b)]＝2a^2+2a^2-ab-b^2

答え：　(4a^2-ab-b^2)/(2a+b)(2a-b)
または：　(4a^2-ab-b^2)/(4a^2-b^2)＝1－ab/(4a^2-b^2)

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＞√x+２√x-１

二重根号の場合、一方を何とか、二乗式にして、ルートの外に出す工夫をします。

√(x-1)＝a と置きます。
a^2＝x-1　となります。ここから、x＝a^2+1

このｘを元の式に代入すると、
√(a^2+1+2a)　ルートのなかを因数文化すると
√(a+1)^2＝(a+1)　……－(a+1) も答えになります。

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＞√x-√x~2-１

これは少し面倒で、まず、x^2-1 を因数分解します→ x^2-1＝(x+1)(x-1)

(x+1)＝a, (x-1)＝b　と置きます。すると、
√(x^2-1)＝√(x+1)(x-1)＝√(x+1)√(x-1)＝ab

a^2＝x+1 から、x＝a^2-1
b^2＝x-1 から、x＝b^2+1

これをどう使うかというと、ａで表現されるｘとｂで表現されるｘは、足すと、１が消えるのに注目します。そこで、

x＝(1/2)(a^2-1)+(1/2)(b^2+1)＝(1/2)(a^2+b^2)

これを、元の式に代入すると、
答え：　√(1/2)*[a^2+b^2+2ab]
＝√(1/2)(a+b)^2＝(√1/2)(a+b)　……－(√1/2)(a+b) も答えになります。
　
　
一般的な解き方は、二重根号は、内部の式を二乗の形にして、根号の外に出られるように工夫することです。

こういう問題の場合、根号の外に出すことができないようなケースは、解けませんから、根号のなかが、適当に別の変数で置きかえると、二乗の形になるように、問題が作られています。
　

No.4 回答者： hinebot 回答日時： 2002/08/28 12:27

４a~2-b~2分の２a~2 - b-２a分のa-b の方、補足がないんですけど

勝手に
(４a~2-b~2分の２a~2) - (b-２a分のa-b)
と仮定しまして解説です。

2a^2/(4a^2-b^2) - (a-b)/(b-2a)
=2a^2/{(2a-b)(2a+b)} + (a-b)/(2a-b) ⇒　前の項の分母を因数分解、後の項の分母を－でくくる。
=2a^2/{(2a-b)(2a+b)} +{(a-b)(2a+b)}/{(2a-b)(2a+b)} 　⇒ 後の項の分母分子2a+bをかけて通分
={2a^2+(a-b)(2a+b)}/{(2a-b)(2a+b)}

ここで
分子 =2a^2+(a-b)(2a+b)=2a^2+2a^2-ab-b^2=4a^2-ab-b^2
分母 =(2a-b)(2a+b)=4a^2-b^2
∴与式 =(4a^2-ab-b^2)/(4a^2-b^2)= 1 - ab/(4a^2-b^2)

No.3 回答者： a-kuma 回答日時： 2002/08/27 12:00

二重根号を外すのが流行なんでしょうか？

先日も別の質問に回答しました（→参考URL）。

そちらの回答も見ていただくとして、要は「問題は解けるように作ってあるので、どうやって
そこにたどり着くか」です。

例えば、二重根号の最初の方。内側のルートについている符号が＋ですから、公式

　　√(a+b+2√(ab)) = √a +√b

を使うことを狙います。内側のルートの中身は x-1 ですから、公式の a と b を
x-1 と 1 と置いてみると

　√( x + 2√(x-1) )
＝√( x-1 + 1 +2√(x-1)(1) )
＝√x-1 +√1
＝√x-1 +1

ですね。

もうひとつは、面倒ですが、考え方は一緒で、どうやって公式に持ち込むか、です。

内側のルートに 2 がかかってないので、式に √2 をかけて、√2 で割ります。

　√(x-√(x~2-1))

　√(x-√(x~2-1))×√2
＝───────────
　　　　　√2

内側のルートの中が因数分解できるから…

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=338836

No.2 回答者： hinebot 回答日時： 2002/08/27 11:56

>４a~2-b~2分の２a~2 - b-２a分のa-b

こちらですが
・（４a~2-b~2分の２a~2 - b-２a）分のa-b
・４a~2-b~2分の（２a~2 - b-２a分のa-b）
・（４a~2-b~2分の２a~2） -（ b-２a分のa-b）
などいろいろ、解釈できます。どこからどこまでがひとまとまりか補足ください。

No.1 回答者： GON009 回答日時： 2002/08/27 11:34

昔こんなんやったなーって感じです。

2重根号は根号のなかの解をとくか因数分解みたいのして。√（√+解）の二乗。とすればルートがひとつはずれますよね。
上のはゆっくりやればできそうですね。錆付いた記憶なんでご容赦ください。