1+ 1/(3^2)+ 1/(5^2)+ 1/(7^2)....=(π^2)/8 をフーリエ級数を使って求めようとしています。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/series/se …
このサイトに解き方が書いてありますが、上の級数での場合のF(X)がわかりません。どなたか教えてもらえませんか?
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>私はF(X)=X^2をフーリエ展開すると
>X^2=1/(3)*π^2 +4(1/(1^2) +1/(2^2) + 1/(3^2)....という答えがたまたまでてきたので、
>そこにX=πをいれればξ(2)=(1/6)π^2が成り立つと思っていたのですが、
>そうではなくて全てF(X)=X^2で良いうことですか?
もう少し冷静になって理論展開をたどった方がいいと思います。
まずX^2をフーリエ展開するとどうなりますか?
X^2=1/(3)*π^2 +4(1/(1^2) +1/(2^2) + 1/(3^2)....
ではないですよね?
なんせ、これだと右辺には変数のXが登場しないから定数ですよ。
そうではなくてX^2の展開はフーリエ級数の基本に忠実に計算して、
X^2=1/(3)*π^2 +4(cos(X)/(1^2) +cos(2X)/(2^2) + cos(3X)/(3^2)....
です。これは参考urlにも書いてあります。
右辺にもXが含まれていて、関数X^2が右辺では三角関数(cos(nX))の和で表されていることがわかります。
ここまでは純粋にフーリエ級数の話で、ζ関数はまだ出てきていません。
ここで先ほど展開した式にX=πを代入するのがポイントなんですね。
普通に両辺にX=πを代入するだけです。
代入すると
π^2 = 1/(3)*π^2 +4(1/(1^2) +1/(2^2) + 1/(3^2)....
になりますね。
このとき4で括られた括弧の中が偶然にもζ(2)と同じ形をしているんですね。
ですから右辺を書き換えて
π^2 = 1/(3)*π^2 +4*ζ(2)
ここから、ζ(2)=...の形に式を整理すれば
ξ(2)=(1/6)π^2
が示されます。
全てF(X)=X^2で良いうことですか?というのはよく意味がわからないんですが、
おそらくζ(4)の値を求めるときにはF(X)=X^4としてF(X)をフーリエ展開するんだと思いますよ。
この回答への補足
ありがとうございます。
X=にπなりをいれて級数の形を整える事は分かっていたのですが、その級数が1/(奇数^2)にするにはどうすればいいのかが分からなかったのです。
F(X)=Xで級数が出てきたので、なんとか解けました。
No.1
- 回答日時:
フーリエ級数の説明の中でのF(X)ならば、F(X)は普通の一般の関数を表しているのでなんでもよいです。
sin(nX)やcos(nX)の係数an,bnをうまくとれば、一般の関数F(X)が三角関数の無限和で表されることを言っています。
その後の、ζ(2)を計算するために展開するF(X)でしたら、参考のページの証明の冒頭にF(X)=X^2とすると書いてあるので、X^2を[-π,π]の範囲で周期関数として展開しているみたいですよ。
ありがとうございます。
私はF(X)=X^2をフーリエ展開すると X^2=1/(3)*π^2 +4(1/(1^2) +1/(2^2) + 1/(3^2)....という答えがたまたまでてきたので、そこにX=πをいれればξ(2)=(1/6)π^2が成り立つと思っていたのですが、そうではなくて全てF(X)=X^2で良いうことですか?
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 f(x)=1 (0<x<L) f(x)=x (0<x<L) のフーリエ正弦級数とフーリエ余弦級数の求 1 2022/12/01 17:05
- 数学 f(x)=x (0<x<L) のフーリエ正弦級数とフーリエ余弦級数の求めよという問題が分からないので 3 2022/12/03 14:39
- 数学 f(x)=x+1 (-π<x≦π)のフーリエ級数の複素フーリエ級数を求めよという問題が分からないので 1 2022/12/13 17:30
- 数学 -π<x≦π、f(x)=|sinx|+1 である周期関数f(x)のフーリエ級数を求めよという問題の解 1 2023/02/06 18:20
- 数学 フーリエ級数係数 2 2023/06/04 14:29
- 大学・短大 絶対値付きのフーリエ級数について 1 2022/04/23 11:23
- 数学 フーリエ級数展開の問題 1 2022/11/04 10:57
- 物理学 フーリエ変換の振幅について 1 2022/09/04 08:56
- 数学 離散フーリエ逆変換が周波数分割数をNにできる理由について 4 2022/09/18 12:56
- 数学 -π<x≦π、f(x)=|sinx|+1 である周期関数f(x)のフーリエ級数について、 an=4/ 1 2023/02/10 14:18
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
1/∞=0は、なぜ?
-
Xの二乗-X+1=0 という2次方程式...
-
数学で、項を指すとき、例えば2...
-
方程式にバーをつけることがで...
-
数2 この問題で、この3つの辺...
-
質問です。 a+b+c=0のとき、...
-
どうしてa>0, b>0のとき、a=b⇔a...
-
正の数aを6でわると、商はbで余...
-
xを7で割ると商がaで余りがbに...
-
等式記号に似た三本線
-
SQL文のwhere条件文で使う <> ...
-
記号(イコールの上に三角形)...
-
exp(-x) =~ 1/(1-x)への計算
-
a>b,c>dのとき、不等式ac+bd>ad...
-
'='と':='の記述の違い
-
「ab≠0 ⇒ a≠0またはb≠0」...
-
比について
-
二重根号についてです。 なぜ下...
-
高2数学です α二乗+β二乗=α...
-
教えてください!
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
SQL文のwhere条件文で使う <> ...
-
1/∞=0は、なぜ?
-
数学で、項を指すとき、例えば2...
-
Xの二乗-X+1=0 という2次方程式...
-
記号(イコールの上に三角形)...
-
x/(x+1) = 1 - 1/(x+1)
-
等式記号に似た三本線
-
説明変数と被説明変数とは何で...
-
どうしてa>0, b>0のとき、a=b⇔a...
-
x^n+1をx^2+x+1で割った余りを...
-
高2数学です α二乗+β二乗=α...
-
計算式の問題です。
-
高2恒等式
-
数学における 等価と同値って同...
-
a>b,c>dのとき、不等式ac+bd>ad...
-
xy-x-y+1 【因数分解】
-
二重根号についてです。 なぜ下...
-
「別々のセルの3つの日付が同じ...
-
組み合わせの公式
-
次の式を因数分解せよ。 x³-3x ...
おすすめ情報