熱力学：バネのヘルムホルツエネルギー

バネの伸びｘ、張力Ｘ、とした時、Ｘ=ｋｘが成り立つ。ｋは温度Ｔに依存する。
この時のバネのヘルムホルツエネルギーＦ、内部エネルギーＵ、エントロピーＳ、をｘの関数として求める時、Ｘ=(∂Ｆ/∂ｘ)Ｔ (Ｔは括弧の右下)までは求まったのですが、それ以降が進みません。。。多分、順序的にはこれからＦ→Ｓ→Ｕと求めていくのでしょうが、どう進めばいいかわかりません。どなたか教えて頂けないでしょうか？

No.2 回答者： Meowth 回答日時： 2007/11/07 14:11

訂正

変形が断熱変化（可逆変化の場合）
kx=(∂U/∂x)Sから
U＝U0+1/2kx^2
ではxの変化にともなって温度がかわり
kの値も変化するので
簡単に積分できませんでした。
（断熱線にそってk 一定として
いるので間違え）

No.1 回答者： Meowth 回答日時： 2007/11/07 10:24

dx伸ばすに必要な仕事

dW=Xdx（=kxdx ）
TdS=dU-dW
dU=dW+TdS=TdS+Xdx
X=(∂U/∂x)S [→kx=(∂U/∂x)S]
変形が断熱変化（可逆変化の場合）
kx=(∂U/∂x)Sから
U＝U0+1/2kx^2
ヘルムホルツの自由エネルギーは
F=U-TS
dF=dU-TdS-SdT=-SdT+dW
=-SdT+Xdx[=-SdT+kxdx]
X=(∂F/∂x)Ｔ[→ kx=(∂Ｆ/∂x)Ｔ]
S=-(∂Ｆ/∂T)x
Maxwellの関係式は
(∂S/∂x)Ｔ=-(∂X/∂T)x
[→(∂S/∂x)Ｔ=-x(∂k/∂T)x]
kの温度依存性を
β=-(∂k/∂T)x
とすれば、
(∂S/∂x)Ｔ=βx
等温変化の場合、
F=F0+1/2kx^2
S=S0+1/2βx^2

ちなみに
Gibbsの自由エネルギーは
Ｇ＝F-Xx
dG=-SdT-xdX
x=-(∂G/∂X)Ｔ
S=-(∂G/∂T)x
Maxwellの関係式は
(∂S/∂X)Ｔ=(∂x/∂T)X
線膨張率
γ=１/x・(∂x/∂T)X
とすれば、
等温変化では、
dX=kdx
(∂S/∂x)Ｔ=-βx
(∂S/∂X)Ｔ=γx
1/k・(∂S/∂x)Ｔ=γx
(∂S/∂x)Ｔ= kγx
S=S0+1/2・kγx＾2
β＝kγの関係がある。

この回答へのお礼

なるほどですね!!
全微分を積分するんですか…思いつきませんでした!!
とっても詳しい説明ありがとうございました!!
ギブスの自由エネルギーの導き方まで、教えて頂きありがとうございます!!

お礼日時：2007/11/10 04:55