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lim ( x → ∞ ) logx / x = ( 1 / ∞ ) = 0
なぜ、0になるのか教えてください。logx が1になるのがわかりません。
それと、lim ( x → 0 ) logx / x  の場合はどうなるのでしょうか。
お願いします。

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A 回答 (5件)

>lim ( x → ∞ ) logx / x = ( 1 / ∞ ) = 0


と書かれてますが、別にlogxが1になるから1/∞で0になるわけではないですよ。
∞/∞の形でも0に収束することはあります。

簡単な例で
  lim[x→∞]{(x+2)/(x^2+1)}=0
でも、0に収束していますが、別にx+2 → 1となって、1/∞になるわけではないですよね。
ようは、分母も分子もxが大きくなればどんどん大きくなる、無限まで大きくなるわけだけど、xよりx^2の方が大きくなるのが早いから0に収束するわけですよね。
逆の言い方をすると、xの増える速さではx^2の増える早さには追いつけないのです。
自動車で新幹線を追いかけるようなもんです。

質問の式でも同じことが言えます。
logxの増える速さではxの増える早さに追いつけないのです。
グラフを描けばわかるのですが、y=xのグラフは一定の割合でどんどん増えていきますが、y=logxのグラフはxが大きくなるほど増える幅が小さくなって伸び悩んでますよね。
だからlogxの増える速さでは、xの増える早さにはかなわない。
割合を取れば、最終的には0に収束してしまう、というわけです。

数学的な証明は他の方も書かれてますが、考え方・イメージとしてはこんな感じです。
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この回答へのお礼

解答ありがとうございます。そうですか、わかりました。
では、lim ( x → ∞ ) logx / x = 0 ならばいいんでしょうか?

お礼日時:2007/11/08 22:19

裏技「logx<2√x」を利用します。


【証明】
f(x)=2√x-logx とおくと
f’(x)=1/√x-1/x=(√x-1)/x
x>1 のとき f’(x)>0だから
x>1 のとき f(x)>f(1)=2>0
よって、x>1 のとき logx<2√x
【極限】
x>1 のとき
0<logx<2√x だから 0<(logx)/x<2√x/x
lim(x→∞)2√x/x=lim 2/√x=0だから
はさみうちにより証明できます。
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この回答へのお礼

解答、ありがとうございました。

お礼日時:2007/11/08 22:21

> lim(x→∞) (log(x)/x) (= 1/∞) = 0


うーん、ロピタルの定理でしょうか・・・
lim(x→∞)f(x)/g(x) = lim(x→∞) f ’(x)/g ’(x) を利用して
lim(x→∞) (log(x)/x) = lim(x→∞) ( (log(x)) ’ / (x) ’ ) = lim(x→∞) 1/x = 0
ロピタルの定理は、むやみやたらと使えるわけでもないので、検索して調べてみたらいかがでしょう。
説明や証明が多く見つかります。
ロピタルの定理に頼りきっているとアホになると言う方もいらっしゃって、たとえば、
lim(x→∞)(x / e^x) = 0  (∵ 0 < lim(x→∞)(x / e^x) < lim(x→∞)(2^x / e^x) = lim(x→∞)(2 / e)^x = 0 )
において t = e^x とおくと、x = log t で、x→∞ のときt→∞ で、
lim(x→∞)(x / e^x) = lim(t→∞) (log(t) / t) = 0
と求めることもできます。

> lim(x→0) (log(x)/x)
x→+0 のとき、log(x) → -∞、1/x → +∞。その積なんだから、log(x)/x → -∞
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この回答へのお礼

解答ありがとうございました。

お礼日時:2007/11/08 22:22

>logx が1になるのがわかりません。



私も分かりませんがlogxが有限数で有る限りは分母が無限大になれば解は0だと思います。

>lim ( x → 0 ) logx / x

たしか分母が0は計算式としては認められていないのでは?
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この回答へのお礼

そうですか、ありがとうございました。

お礼日時:2007/11/08 22:21

>logx が1になるのがわかりません。


ロピタルの定理を使っているのかもしれませんが、この文脈からは誰にも判断できません。

>lim ( x → 0 ) logx / x  の場合はどうなるのでしょうか。
プラスからゼロに近づくとして、結果は明らかだと思いますが。
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この回答へのお礼

解答ありがとうございました。

お礼日時:2007/11/08 22:13

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lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e
となることの証明はどのようにすればいいのでしょうか?
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Aベストアンサー

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がeの定義なので、(t→+0でもt→-0でもOK)
-1/n=tとおきます。

n→∞のとき、t→-0なので、
(与式)=lim(1+t)^(-1/t)   〔t→-0〕

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=lim{(1+t)^(1/t)}^-1   〔t→-0〕
=e^-1
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Aベストアンサー

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ロピタルの定理は、分母と分子が微分可能なときに、∞/∞または0/0の不定形極限になっているときのみ、適用できます。それ以外では使ってはダメ。証明を知らずにただロピタルが万能と過信している、そういう間違いをする人はよくいます。

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No.1で回答した者です。

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 ○ I'll do my best hard as far as possible.

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Q普通自動車の運転免許の正式名称

を教えてください。
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普通自動車第一種免許や第一種普通運転免許とかいわれていますが。

警察などの公式な場所に問い合わせてみた人がいましたら教えてください。

Aベストアンサー

抜粋です.「普通自動車免許」ですね.
「第一種運転免許」はありますが,「普通自動車第一種免許」や「第一種普通運転免許」とは言わないようです.第二種の場合は名称に入り,「普通自動車第二種免許」のように言うようです.

--------------------
道路交通法
第六章 自動車及び原動機付自転車の運転免許
第八十四条  自動車及び原動機付自転車(以下「自動車等」という。)を運転しようとする者は、公安委員会の運転免許(以下「免許」という。)を受けなければならない。
2  免許は、第一種運転免許(以下「第一種免許」という。)、第二種運転免許(以下「第二種免許」という。)及び仮運転免許(以下「仮免許」という。)に区分する。
3  第一種免許を分けて、大型自動車免許(以下「大型免許」という。)、普通自動車免許(以下「普通免許」という。)、大型特殊自動車免許(以下「大型特殊免許」という。)、大型自動二輪車免許(以下「大型二輪免許」という。)、普通自動二輪車免許(以下「普通二輪免許」という。)、小型特殊自動車免許(以下「小型特殊免許」という。)、原動機付自転車免許(以下「原付免許」という。)及び牽引免許の八種類とする。
4  第二種免許を分けて、大型自動車第二種免許(以下「大型第二種免許」という。)、普通自動車第二種免許(以下「普通第二種免許」という。)、大型特殊自動車第二種免許(以下「大型特殊第二種免許」という。)及び牽引第二種免許の四種類とする

参考URL:http://law.e-gov.go.jp/cgi-bin/idxselect.cgi?IDX_OPT=2&H_NAME=&H_NAME_YOMI=%82%c6&H_NO_GENGO=H&H_NO_YEAR=&H_NO_TYPE=2&H_

抜粋です.「普通自動車免許」ですね.
「第一種運転免許」はありますが,「普通自動車第一種免許」や「第一種普通運転免許」とは言わないようです.第二種の場合は名称に入り,「普通自動車第二種免許」のように言うようです.

--------------------
道路交通法
第六章 自動車及び原動機付自転車の運転免許
第八十四条  自動車及び原動機付自転車(以下「自動車等」という。)を運転しようとする者は、公安委員会の運転免許(以下「免許」という。)を受けなければならない。
2  免許は、第一種運...続きを読む

Qy=x^(1/x) の 微分

y=x^(1/x) の微分を教えてください。
簡単な問題なのにすいません。

Aベストアンサー

対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log|y|)'
= y' / y
= y' / { x^(1/x) }

となります。

(log|y|)' = { (1/x)log|x| }'
→y' / { x^(1/x) } = { (1/x)log|x| }'

この両辺に{ x^(1/x) }をかけると

y' = { x^(1/x) } × { (1/x)log|x| }'

となります。
なので{ (1/x)log|x| }'の計算をすればy'が求まります。
積の微分で解いてください。

対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log...続きを読む

Q極限を求める

lim(x→∞)x/e^x を求めよ。
という問題です。
答えを出そうとしたのですが教科書に決まりとして答えが「0」になると書いてしまっていました。(解説なし)
ここで質問なんですがこの問題を解くときにlim(x→∞)logx/x=0からlogx=tと置いてlim(x→∞)t/e^tを求めるやり方を逆にして解くのがよいのでしょうか?
また、他にいい方法はありませんか?

Aベストアンサー

y=e^x  の x=0  での接線を考えると
e^x>1+x>x    
よって
e^x>x  これに x/2 を代入すると
e^(x/2)>x/2  両辺を二乗すると
e^x>(x/2)^2  
(e^x)/x>x/4  → ∞  ( x → ∞ ) 
したがって
x/e^x=1/{(e^x)/x}  → 1/∞=0  ( x → ∞ ) 

Q極限値lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))とlim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)の求め方は?

(1)lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))
(2)lim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)

の極限値がわかりません。
(1)は3^nで分母・分子を割って
lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))
=
lim[n→∞][1/{(2/3)^n+n^2/3^n}]
までいけたのですがn^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。
どうなるのでしょうか?

あと、(2)は対数を取って
lim[n→∞]log(2^n+3^n)^(1/n)
=
lim[n→∞](1/n)log(2^n+3^n)
までいけたのですがここから先へ進めません。

Aベストアンサー

YYoshikawaさん、こんにちは。

[(1)について]

> n^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。

まず感覚として、ANo.1さんも書かれているように、n=100で考えてみると、
 n^2/3^n = 10000/3^100
ですが、3^2=9 が大体10ですから、3^100 は、10^50 ぐらいなわけで、0が50個ぐらいつきますから、10000などよりは、はるかに大きくなります。つまり n^2/3^n → 0 が予想できます。

数式では次のように証明できます。

まず、n^2/3^n はnが大きいとき単調減少です。
実際、a(n)=n^2/3^n とおき、

 a(n+1)/a(n) = [(n+1)^2/3^(n+1)]/[n^2/3^n]

と比をとってみると、

 a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 … (3)

ですが、nが大きいときには、2/n < 1, 1/n^2 < 1 なので、(3)は、

 a(n+1)/a(n) < 1

となり、単調に減少することがわかります。
まずこの時点で発散はしないことがわかります。
また、a(n) > 0 なので、lim_{n→∞} a(n) ≧ 0 となります。

もし、a(n) の収束値bが、正の有限値なら、n→∞で、
 a(2n)/a(n) → b/b = 1
になるはずですが、
 a(2n)/a(n) = [(2n)^2/3^{2n}]/[n^2/3^n] = 4/3^n → 0
になるので、収束値bは正の有限値にはなりません。

従って、
 lim_{n→∞} a(n) = 0 … (4)
が得られます。

[(4)の別証]
(3)式 a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 より、
n>10で、
 a(n+1)/a(n) < [1 + 2/10 + 1/100]/3 < 2/3
故に、n→∞ のとき、
 0 < a(n) = [a(n)/a(n-1)]・[a(n-1)/a(n-2)] ・…・ [a(12)/a(11)]・a(11)
      < (2/3)^{n-11}× a(11) = (2/3)^n × (3/2)^{11}a(11) → 0
故に
 lim_{n→∞} a(n) = 0
が得られる。
(別証終わり)


[(2)について]

まず感覚的なことを説明しますと、nが大きいとき、2^nは3^nに比べてはるかに小さくなるので、基本的に、lim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)の、2^n+3^nの部分は3^nに近づくことがわかり、問題の式は(3^n)^{1/n}=3 になることが予想されます。

これを式で言うには、対数をとるより、

 lim_{n→∞} [3^n×{1+(2/3)^n}]^{1/n}
 = lim_{n→∞} 3×[1+(2/3)^n]^{1/n} … (5)

と変形するのが良いでしょう。(2/3)^n → 0 なので、
 [1+(2/3)^n]^{1/n} → 1 … (6)
なので、
 (5) = 3
になります。


なお、(6)が明らかと思われない場合は、
 1 = 1^{1/n} < [1+(2/3)^n]^{1/n} < 1+(2/3)^n → 1
(∵ a > 1 に対して、a^{1/n} = (a^{1/n})^n = a )
より、[1+(2/3)^n]^{1/n} → 1
と証明します。

YYoshikawaさん、こんにちは。

[(1)について]

> n^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。

まず感覚として、ANo.1さんも書かれているように、n=100で考えてみると、
 n^2/3^n = 10000/3^100
ですが、3^2=9 が大体10ですから、3^100 は、10^50 ぐらいなわけで、0が50個ぐらいつきますから、10000などよりは、はるかに大きくなります。つまり n^2/3^n → 0 が予想できます。

数式では次のように証明できます。

まず、n^2/3^n はnが大きいとき単調減少です。
実際、a(n)=n^2/3^n とおき、...続きを読む


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