ラプラス逆変換

次のラプラス逆変換の問題をお教えください。
F（ｓ）＝(２ｓ＋１）/(ｓ＾２＋ｓ＋１）
という問題です。
ふつうは分母を因数分解をしなければやりにくいので、
＝｛２(ｓ＋１/２)}/{(ｓ+１/２)＾２＋(√(３)/２)＾２}
になると書いてありました。(これは最終の答えではないですが。)
なぜこういう風に変形できるのでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： root51 回答日時： 2007/12/07 17:40

単に平方完成ですよん。

そしてその狙いは、cosの公式に持っていくことです。
教科書を持ってみえると思いますが一応公式のサイトを貼っておきます。
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/di …

普通は平方完成でなくて(s-a)(s-b)のように因数分解してから計算しますよね。
今回因数分解でなく平方完成した理由は分母のｓ＾２＋ｓ＋１が虚数解を持つからですが
普通に解の公式で因数分解しても解けますよ。
オイラーの公式を使えばcosが出てくるはずです。

No.2 回答者： info22 回答日時： 2007/12/07 19:36

＞F（ｓ）＝(２ｓ＋１）/(ｓ＾２＋ｓ＋１）

＞＝｛２(ｓ＋１/２)}/{(ｓ+１/２)＾２＋(√(３)/２)＾２}
＞なぜこういう風に変形できるのでしょうか。
ラプラス変換の公式を適用するためです。
L^-1{F(s)}=2e(-t/2)*L^-1{s/(s^2+(√3)/2)^2)}
=2e(-t/2)*cos{(√3)/2)t}

以下の公式を使うための変形です。
F(s+a) ⇔ e^(-at)f(t)
F(s/(s^2+b^2)) ⇔ cos(bt)