原点まわりの回転

大学の線形代数で質問です。

楕円 x^2+y^2/4=1　を原点中心でπ/4回転させるとき、どのような式になるか。

Tによる線形写像とすると、T=
[1/√2 -1/√2]
[1/√2 1/√2]

となるので、そこからどうすれば…というところです。。

そのまま代入や、cosやsinで書き換えも考えたんですが、ややこしくなるばかりで。。

お願いします！！

No.3 ベストアンサー 回答者： yhposolihp 回答日時： 2008/01/23 22:36

このまでは、代入できないので、

逆写像/逆変換/逆回転を使います。

[(1/√2),　(1/√2)]
[(-1/√2 ),(1/√2)]　となりますから、

変換式は、

x=[(1/√2)X+(1/√2)Y]
y=[(-1/√2 )X+(1/√2)Y]　です。

これを、
計算間違いを少しでも、減らすように、

8[x^2]+2[y^2]=8　と変形した式に、
代入して、
8[(1/√2)X+(1/√2)Y]^2+2[(-1/√2 )X+(1/√2)Y]^2=8

この後は、ひたすら計算して、

8[(1/√2)X+(1/√2)Y]^2
　=8[(1/2)(X^2)+XY+(1/2)(Y^2)]
　=4(X^2)+8XY+4(Y^2)

2[(-1/√2 )X+(1/√2)Y]^2
　=2[(1/2)(X^2)-XY+(1/2)(Y^2)]^2
　=(X^2)-2XY+(Y^2)

4(X^2)+8XY+4(Y^2)+(X^2)-2XY+(Y^2)=8
　　　　5(X^2)+6XY+5(Y^2)=8
　　　　　　　　↓
　　　　5(x^2)+6xy+5(y^2)=8　。

No.2 回答者： info22 回答日時： 2008/01/23 22:30

(X) (x)

(Y)=T・(y)

(x) 　(X)
(y)=T^(-1)・(Y)
(正しく表示しないかも、等幅フォントで見ればスペース分がずれない）

から
x=(1/√2)(X+Y),y=(1/√2)(-X+Y)
これを
x^2+y^2/4=1
の式に代入して整理して、
改めてX,Yを流通座標のx,yに書き換えれば、回転後の楕円の式になります。
やってみてください。
参考URLのプロットするフリーソフト（GRAPES）などを使って
プロットして確認するといいでしょう。

参考URL：http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/vo …

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/01/23 21:20

最初はそのまま代入するもんだよ。