次のような問題に出会いました。
芯の半径は2cm、芯の中心から
外側までの厚さは8cm、紙の厚さは0.1mmトイレットペーパーの長さはいくらか
という問題です。
紙の枚数は
(8-2)/0.01=600枚
なので
(1)
2π(2+.01x)
xは1から600までの等差数列。
これを電卓で叩くと
18868.40548になりました。
(2)
次に、これは
2π(2+.01x)を
1から600まで積分したものだろうと思い電卓を再び叩くと
18836.95813
と出ました。
根本的に私の考えが間違っているのでしょうか
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
再びお邪魔します。
まず、訂正させてください。
π(8^2 - 2^2) ÷ 0.01 = 1884.95559 cm
は書き間違いで、
π(8^2 - 2^2) ÷ 0.01 = 18849.5559 cm
が正しかったです。
さて、
(1)について、x=1~600 と x=0.5~599.5 を比較しますね。
S1 = Σ[x=1→600]0.01x = 0.01 + 0.02 + 0.03 + ・・・ + 5.98 + 5.99 + 6.00
S2 = Σ[x=0.5→599.5 step=1]0.01x = 0.005 + 0.015 + 0.025 + ・・・ + 5.975 + 5.985 + 5.995
と置くと、
S1 - S2 = 0.005 + 0.005 + 0.005 + ・・・ + 0.005 + 0.005 + 0.005
= 0.005×600
= 3
よって、
Σ[x=1→600]2π(2+.01x) - Σ[x=0.5→599.5 step=1]2π(2+.01x)
= 2π×3
= 18.8495559 cm
これを質問者様の計算結果から差し引けば
18868.40548 - 18.8495559 = 18849.5559 cm
というわけで、見事に一致しましたよね。
積分のほうもやってみましょうか。
ピタリと一致するはずです。
∫2π(2+0.01x)dx = 4π∫dx + 2π∫0.01x dx
= 4πx + 0.01π・x^2 + Const
∫[0→600]2π(2+0.01x)dx = 4π[600-0] + 0.01π[600^2 - 0^2]
= 2400π + 3600π
= 6000π = 18849.5559
ね?
なお、上述のΣの式で「 step=1 」というのは、公差が1ということを表すために私が創作した書き方なので、真似しないでください。(笑)
まず、ドーナツの面積を厚さで割ればよいという発想は出てきませんでした。
問題を見たときは各々の円周を力任せに合計するか、積分でなんとかなりそう
だという程度でした。0~600の間違いはすぐに理解しましたが、(1)で
まっすぐに引き伸ばしたときの形が台形という発想もすごいと思います。
最初は電卓の誤差かと思っていましたが、ぴたりと一致しましたので
今日は安心して眠れます。ありがとうございました。
なお、[step=1]は見たときにすぐにわかりました(^^;
No.2
- 回答日時:
(1)はこれでいいと思います
(2)は積分区間を 0~600とすべきです。
違いは
(1)はxを整数値としての発想から出た計算ですが
(2)の積分はxを連続した実数値としての発想から出た計算を
行うから、芯から外周まで連続して計算すべきだからです。
整数値と実数地の違い。頭の中では理解していたつもりだった
のですが、言われてみて0~600にしなければならないことに
気がつきました。早速の回答ありがとうございました。
No.1
- 回答日時:
こんばんは。
結論から申しますと、
単純に計算するには、ドーナツの面積を厚さで割ればよいです。
(数値で積分することと同じことなのですが)
単位はcmで統一しますね。
π(8^2 - 2^2) ÷ 0.01 = 1884.95559 cm
ご質問文にある(1)の等差数列は、1から600まででなく、0.5から599.5までにしたほうが良い近似になります。
なぜかというと、1つ1つの輪っかは、どこかで切ってまっすぐに引き伸ばしたときの形が台形なので、上底や下底ではなく、上底と下底の平均を用いるのがよいからです。
(2)の積分は、x=1からx=600ではなく、x=0からx=600 にすべきです。
なぜかというと、x=1からだと、xが0から1までのところ、すあんわち芯の外側0.1mmにある紙を計算に入れていないことになってしまうからです。
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