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奇数の列を、次のように1個、2個、4個、8個、……と郡に分ける。
{1}、{3、5}、{7、9、11、13}、{15、17、……、29}、…… 

このとき第n項の最初の奇数と、第n項に含まれる奇数の和を求めなさい。

という問題なのですが、解き方のプロセスといいますか、何から始めればよいのかすら分かりません。ヒントをください。

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A 回答 (5件)

>>{1}{3 5}{7 9 11 13}{15 17 19 21 23 25 27 29}



 第n群の最初の奇数(項)を求める手順は、

 <第n群に含まれる項の個数?>

  第1群に含まれる項数は2^0=1個
  第2群に含まれる項数は2^1=2個
  第3群に含まれる項数は2^2=4個
  第4群に含まれる項数は2^3=8個

 <第n群含まれる項の個数は2^(n-1)個>

 次に、
 <第n群の最初の奇数(項)が何番目か?。>

  第(n-1)群までの項数の和に、
  1を加えると、何番目か判ります。

  つまり、
  初項2^0、公比2、項数(n-1)の、
  等比数列の和に1を加えます。
  式は、
  [2^0]+[2^1]+[2^2]+[2^3]+・・・+[2^(n-2)]+1

  等比数列の和の公式を使います。
[2^0]+[2^1]+[2^2]+[2^3]+・・・+[2^(n-2)]+1
=([{2^(n-1)}-1]/[2-1])+1
=2^(n-1)

 <第n群の最初の奇数(項)は、2^(n-1)番目。>

 最後に、
 <第n群の最初の奇数(項)は?> 

   奇数列の一般項A(n)は、
   A(n)=2n-1 です。
   一般項A(n)=2n-1の、
   n を 2^(n-1)に置き換えて、
   A( 2^(n-1) )
   =2[2^(n-1)]-1
   =[2^n]-1

 <第n群の最初の奇数(項)は、[2^n]-1 。>

----------

前半の結果を、後半で使います。

 <第n群に含まれる奇数(項)の和?>

(1) 第n群の最初の項(初項)は、[2^n]-1、
(2) 第n群の最後の項(末項)は、
    第(n+1)群の最初の項から、
    2を引きます。
        ([2^(n+1)]-1)-2=[2^(n+1)]-3、
(3) 第n群の(項数)は、2^(n-1)、

  等差数列の和の公式は、
  ( (初項)+(末項) )(項数)/2、です。

  此の公式に、(1)(2)(3)をあてはめます。
  指数計算がやっかいですが、
<第n群に含まれる奇数(項)の和>をS(n)と置いて、

  冒頭の、
{1}{3 5}{7 9 11 13}{15 17 19 21 23 25 27 29}
{・・・}内を計算すれば、
S(1)=1、S(2)=8、S(3)=40、S(4)=176
   と判りますから、指数計算の結果を、
   確認できます。

   締めの計算をします。
S(n)
= ( (初項)+(末項) )(項数)/2
=( [2^n]-1+[2^(n+1)]-3 )( 2^(n-1) )/2
=( [2^n]+[2^(n+1)]-4 )( 2^(n-1) )/2
=( [2^(n-1)]+[2^(n)]-2 )( 2^(n-1) )
= [2^(2n-2)]+[2^(2n-1)]-[2^(n)]  。  
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まず、群内の奇数の個数を考えてみてください。


第n項の場合には、2^(n-1)個ということですよね。

第n項の最初の奇数、から考えてみます。
第n項の最初の奇数を、仮にA(n)とおきます。
第n-1項の最初の奇数は、A(n-1)ですね。
第n-1項の最後の奇数は?
じゃあ、次の奇数である第n項の最初の奇数は第n-1項の値で表現できることは分かりますね。
A(n)=A(n-1)+2^(n-1)

さてと。
このままだと、
A(n)=Σ2^(n-1)とか書いちゃう人もいそうなので念のため。
両辺を2^nで引き算してみてください。もっと簡単になりますから。

あと、2進数が分かるなら、2進表記で書いてみれば(電卓アプリつかったら)すぐに分かりますよ。

合計は、等差数列の和です。べき乗計算がうっとうしいですがやってみてください。
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#2ごめん早とちり。

ちゃんと1個、2個、4個、8個だったですね。すんません。
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> 奇数の列を、次のように1個、2個、4個、8個、……と郡に分ける。


> {1}、{3、5}、{7、9、11、13}、{15、17、……、29}、…… 

うん?下段の分け方は「1個、2個、4個、8個、……」の群(郡じゃあないですね)の分け方になっていませんが???

やはり、各項の最初の数字を把握することが全てなんじゃないでしょうか。

ヒントだけ欲しいということなので、下段の分け方だと、各項の最初の数字は
1, 3, 7, 15, 31,...
で、この列を a(n), n=1,2,.. と表すと、どうやら a(1) = 1, a(n) = 2 a(n-1) + 1 になっているらしい。
これから、第 n 項の最初の数字 a(n) は求められる。
で、第 n 項の和は、a(n) から a(n+1)-2 までの奇数の和ですね。

頑張って。
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第k群の最初の項は何項目にあたるのかを考える。


第k群には何項の奇数が含まれるか考える。

そうしたら第k群に含まれる奇数の和は、
(第k群の最初の奇数)を初項として公差が2、項数が(第k群に含まれる奇数の数)の等差数列の和と同じ。

具体的には第k群の最初の項を第n項としてnをkの式で表す。
 第1群の最初の項は第1項
 第2群の最初の項は第2項
 第3群の最初の項は第4項
 第4群の最初の項は第8項
 …
 第k群の最初の項は第n項

そうしたらn番目の奇数は2n-1だから、これから第k群の最初の奇数が具体的に解る。

また第k群に含まれる奇数の数をm個としてmもkの式で表す。
 第1群の奇数の数は1個
 第2群の奇数の数は2個
 第3群の奇数の数は4個
 第4群の奇数の数は8個
 …
 第k群の奇数の数はm個

以上が求まったら等差数列の和の公式
  (項数)*(2*初項 + (項数-1)*公差)/2
の公式にkの式として表した(項数m),(初項2n-1),(公差2)を代入すれば、第k群に含まれる奇数の和がkの式として求まる。
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