郡数列

奇数の列を、次のように１個、２個、４個、８個、……と郡に分ける。
｛１｝、｛３、５｝、｛７、９、１１、１３｝、｛１５、１７、……、２９｝、……　

このとき第ｎ項の最初の奇数と、第ｎ項に含まれる奇数の和を求めなさい。

という問題なのですが、解き方のプロセスといいますか、何から始めればよいのかすら分かりません。ヒントをください。

No.1 回答者： proto 回答日時： 2008/02/21 18:59

第k群の最初の項は何項目にあたるのかを考える。

第k群には何項の奇数が含まれるか考える。

そうしたら第k群に含まれる奇数の和は、
(第k群の最初の奇数)を初項として公差が2、項数が(第k群に含まれる奇数の数)の等差数列の和と同じ。

具体的には第k群の最初の項を第n項としてnをkの式で表す。
　第1群の最初の項は第1項
　第2群の最初の項は第2項
　第3群の最初の項は第4項
　第4群の最初の項は第8項
　…
　第k群の最初の項は第n項

そうしたらn番目の奇数は2n-1だから、これから第k群の最初の奇数が具体的に解る。

また第k群に含まれる奇数の数をm個としてmもkの式で表す。
　第1群の奇数の数は1個
　第2群の奇数の数は2個
　第3群の奇数の数は4個
　第4群の奇数の数は8個
　…
　第k群の奇数の数はm個

以上が求まったら等差数列の和の公式
　　(項数)*(2*初項 + (項数-1)*公差)/2
の公式にkの式として表した(項数m),(初項2n-1),(公差2)を代入すれば、第k群に含まれる奇数の和がkの式として求まる。

No.2 回答者： kumipapa 回答日時： 2008/02/21 19:47

＞　奇数の列を、次のように１個、２個、４個、８個、……と郡に分ける。

＞　｛１｝、｛３、５｝、｛７、９、１１、１３｝、｛１５、１７、……、２９｝、……　

うん？下段の分け方は「１個、２個、４個、８個、……」の群（郡じゃあないですね）の分け方になっていませんが？？？

やはり、各項の最初の数字を把握することが全てなんじゃないでしょうか。

ヒントだけ欲しいということなので、下段の分け方だと、各項の最初の数字は
1, 3, 7, 15, 31,...
で、この列を a(n), n=1,2,.. と表すと、どうやら a(1) = 1, a(n) = 2 a(n-1) + 1 になっているらしい。
これから、第 n 項の最初の数字 a(n) は求められる。
で、第 n 項の和は、a(n) から a(n+1)-2 までの奇数の和ですね。

頑張って。

No.3 回答者： kumipapa 回答日時： 2008/02/21 19:49

＃２ごめん早とちり。

ちゃんと１個、２個、４個、８個だったですね。すんません。

No.4 回答者： extrabold 回答日時： 2008/02/21 20:07

まず、群内の奇数の個数を考えてみてください。

第n項の場合には、2^(n-1)個ということですよね。

第n項の最初の奇数、から考えてみます。
第n項の最初の奇数を、仮にA(n)とおきます。
第n-1項の最初の奇数は、A(n-1)ですね。
第n-1項の最後の奇数は？
じゃあ、次の奇数である第n項の最初の奇数は第n-1項の値で表現できることは分かりますね。
A(n)=A(n-1)+2^(n-1)

さてと。
このままだと、
A(n)=Σ2^(n-1)とか書いちゃう人もいそうなので念のため。
両辺を2^nで引き算してみてください。もっと簡単になりますから。

あと、2進数が分かるなら、2進表記で書いてみれば（電卓アプリつかったら）すぐに分かりますよ。

合計は、等差数列の和です。べき乗計算がうっとうしいですがやってみてください。

No.5 回答者： kkkk2222 回答日時： 2008/02/22 09:07

>>｛1｝｛3 5｝｛7 9 11 13｝｛15 17 19 21 23 25 27 29｝

　第ｎ群の最初の奇数（項）を求める手順は、

　＜第ｎ群に含まれる項の個数？＞

　　第１群に含まれる項数は2^0=1個
　　第２群に含まれる項数は2^1=2個
　　第３群に含まれる項数は2^2=4個
　　第４群に含まれる項数は2^3=8個

　＜第ｎ群含まれる項の個数は2^(n-1)個＞

　次に、
　＜第ｎ群の最初の奇数（項）が何番目か？。＞

　　第（ｎ－１）群までの項数の和に、
　　１を加えると、何番目か判ります。

　　つまり、
　　初項2^0、公比２、項数（ｎ－１）の、
　　等比数列の和に１を加えます。
　　式は、
　　[2^0]+[2^1]+[2^2]+[2^3]+・・・+[2^(n-2)]+1

　　等比数列の和の公式を使います。
[2^0]+[2^1]+[2^2]+[2^3]+・・・+[2^(n-2)]+1
＝([｛2^(n-1)｝-1]/[2-1])+1
＝2^(n-1)

　＜第ｎ群の最初の奇数（項）は、2^(n-1)番目。＞

　最後に、
　＜第ｎ群の最初の奇数（項）は？＞　

　　　奇数列の一般項A(n)は、
　　　A(n)=2n-1　です。
　　　一般項A(n)=2n-1の、
　　　n　を　2^(n-1)に置き換えて、
　　　A( 2^(n-1) )
　　　=2[2^(n-1)]-1
　　　=[2^n]-1

　＜第ｎ群の最初の奇数（項）は、[2^n]-1　。＞

----------

前半の結果を、後半で使います。

　＜第ｎ群に含まれる奇数（項）の和？＞

（１）　第ｎ群の最初の項（初項）は、[2^n]-1、
（２）　第ｎ群の最後の項（末項）は、
　　　　第（ｎ＋１）群の最初の項から、
　　　　２を引きます。
　　　　　　　　([2^(n+1)]-1)-2=[2^(n+1)]-3、
（３）　第ｎ群の（項数）は、2^(n-1)、

　　等差数列の和の公式は、
　　( （初項）＋（末項） )（項数）/2、です。

　　此の公式に、（１）（２）（３）をあてはめます。
　　指数計算がやっかいですが、
＜第ｎ群に含まれる奇数（項）の和＞をＳ（ｎ）と置いて、

　　冒頭の、
｛1｝｛3 5｝｛7 9 11 13｝｛15 17 19 21 23 25 27 29｝
｛・・・｝内を計算すれば、
Ｓ（１）＝１、Ｓ（２）＝８、Ｓ（３）＝４０、Ｓ（４）＝１７６
　　　と判りますから、指数計算の結果を、
　　　確認できます。

　　　締めの計算をします。
Ｓ（ｎ）
＝　( （初項）＋（末項） )（項数）/2
＝( [2^n]-1＋[2^(n+1)]－3 )( 2^(n-1) )/2
＝( [2^n]＋[2^(n+1)]－4 )( 2^(n-1) )/2
＝( [2^(n-1)]＋[2^(n)]－2 )( 2^(n-1) )
＝ [2^(2n-2)]＋[2^(2n-1)]－[2^(n)]　　。