タンジェントについて

半径１の円に内接する三角形を考える。３つの内角の大きさをＡ，Ｂ，Ｃ（ただしC≧B≧A）としそれぞれの正弦の値α、β、γはいずれも整数とする。
（１）α、β、γを求めよ
（２）三辺の長さを求めよ。
という問題なんですが、タンジェントの値が整数になるのは45°と135°しかないですよね？この問題はどうやって解くのですか？

No.6 回答者： nettiw 回答日時： 2008/02/24 08:30

>>　tanA、tanB、tanC、 (整数)

>>　A≦B≦C
>>　A+B+C=180度

　3A≦180度
　0度＜A≦60度
　0＜tanA≦√3

　　∴　tanA=1、　A=45度

　A(45度)=B(45度)=C(45度)　不可、
　A(45度)=B(45度)＜C(90度) 　不可、
　A(45度)＜B(67.5度)=C(67.5度)
　　　(tan67.5度)^2
　　=[1-cos135度]/[1+cos135度]
　　=[1+(1/√2)]/[1-1/√2)]
　　=[√2+1]/[√2-1]
　　=(√2+1)^2
　　tan67.5度=√2+1　不可、　

　　∴　A＜B＜C

　　90度＜C、
　　A+B＜90度、45度+B＜90度、B＜45度、不可、
　　
　　∴　45度＜B＜C＜90度

　　B+C=135度
　　45度＜B＜67.5度、　67.5度＜C＜90度

　　tan45度＜tanB＜tan67.5度
　　　　　　1＜tanB＜√2+1＜3

　　∴　tanB=2

　C=135度-B
　tanC
　=tan(135度-B)
　=[tan135度-tanB]/[1+(tan135度)(tanB)]
　=[-1-2]/[1-2]=3

　　∴tanC=3　
---

(tan45度,tanB,tanC)=(1,2,3)

sin45度=(1/√2), sinB=(2/√5), sinC=(3/√10)
　a/(1/√2)=b/(2/√5)=c/(3/√10)=2

　　∴　a=√2、b=4/√5、c=6/√10

---

tan(A+B+C)=0

tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC
―ー―ー―ー―ー―ー―ー―ー―ーー =0
1-tanAtanB-tanBtanC-tanCtanA

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

---

No.5 回答者： info22 回答日時： 2008/02/24 01:53

#3です。

0＜α≦β≦γの条件で
α+β+γ＝αβγ
を満たす整数の組(α,β,γ)
を調べるとα,β,γは１～３の範囲の値しか
とりえませんので
上の式でしらみつぶしに調べても1通りしか出てきません。
つまり
(α,β,γ)=(1,2,3)
の1通りしかありません。

#1さんがA#4で言われているように
Aは1通りしかありえない。
つまり,
α=tanAが1通りだけで
私が示したα＝１の場合だけという事ですね。
上の1通りの組だけということですね。
#1さま、補足感謝です。

No.4 回答者： First_Noel 回答日時： 2008/02/24 01:39

＃１です．

＃３さまに見事なご回答がありますので追記までですが，
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１８０°で，Ｃ≧Ｂ≧Ａ，ならば，
少なくともＡ＜６０°であることが言えます．
この範囲でｔａｎＡが整数になるのは・・・いっこしかありませんね．

と言うことで，解答は一意に求まる，と言うことになります．

No.3 回答者： info22 回答日時： 2008/02/24 01:19

＞正弦ではなくて正接でした。

△ABCの角の公式
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
を使えば
α+β+γ=αβγ…(■)
A=B=Cと仮定するとαが整数にならないので
A=B=Cつまりα=β=γとなることはない。
C≧B≧Aを考慮して、仮にα＜β＜γの場合を考えてみる。
相加平均と相乗平均の関係からαβγ≧6が出てくるので
もっとも簡単な(α,β,γ)＝(1,2,3)としてみると
以下のように（１）、（２）条件をみたす解が出てきます。
1+2+3=1*2*3
が成り立ちますのでC≧B≧Aから
tanA=α=1
tanB=β=2
tanC=γ=3
1/sin^2 A=1+1/tan^2 A
から　sinA=1/√2
同様にして　sinB=2/√5, sinC=3/√10
正弦定理で半径R=1とおけば
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2
から
∴a=2sinA=√2,b=2sinB=4√5,c=2sinC=6/√10

【検討】とりあえず見つかったので解の1組を書きました。
(■)の式を満たす整数の組(α、β、γ)があるかも知れません
調べてみてください。見つかれば、上記と同様な方法で解答が出せるでしょう。

今回は解法の突破口となるかと思います。

No.2 回答者： sanori 回答日時： 2008/02/23 23:58

こんばんは。

＞＞＞タンジェントの値が整数になるのは45°と135°しかないですよね？

ご質問文には「正弦の値α、β、γ」と書かれていますよね。
タンジェントは正接、
正弦はサインです。
ちなみに、正弦が整数になるのは、0°, 90°, 180°, 270°です。

No.1 回答者： First_Noel 回答日時： 2008/02/23 23:33

正弦はｓｉｎですよ．

もしかして正接（ｔａｎ）ですか？
そうだとすると，ｔａｎが整数になるのは０～９０°の間でも無限にありますよ．
グラフを描いてみるとお分かりかと思います（０～∞の値を取るので）．

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。すいません。入力ミスでした。正弦ではなくて正接でした。無限にある整数の中でどうやってある値を求めるのですか？

お礼日時：2008/02/23 23:57