つりあいの位置を基準にすると、重力による位置エネルギーを無視しすることができる理由がわからなかったので
http://okwave.jp/qa631820.htmlを参考に図や式を書いて自分なりに考えて見ましたが
回答が微分を使っていて結局わかりませんでした
微分を使わずにもう少し低いレベルから理由を説明するとどんな風になるのでしょうか?
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
力学的エネルギー保存則(自然長の位置が原点)
mv^2/2+kx^2/2+mgx=一定
を眺めると困ったことにxが1箇所に集まってません。
ということで平方完成をしてみましょう。
それで得られる式は
mv^2/2 + k(x+α)^2/2-(mg)^2/(2k)=一定・・・(☆)
の形になります。ここで
y=x+α・・・(*)
とすれば
mv^2/2 + ky^2/2-(mg)^2/(2k)=一定
となります。第3項は定数なので
mv^2/2 + ky^2/2=一定
とできます。
さらに静止時の力のつりあいより
(*)がつりあいの位置を原点とした座標に変換していることがわかります。
もどって(☆)を3分くらい見つめてみましょう。
第2項と第3項の和は、上下に動くことによる位置エネルギー+定数となっていますが、
もともとは弾性エネルギー+重力による位置エネルギーとなっていたはずです(最初の式)。
だけど変数1箇所で考えることができる前者のほうが便利なはずです。
だからわざわざ、つりあいの位置を原点とした座標をもってくる訳です。
そのとき上下運動による位置エネルギーが弾性エネルギーに似てるから
重力を無視しているかのように見えたのでしょう。
正確に言えば、つりあいの位置を中心とすれば
復元力がつりあいの位置からの距離に云々(#3最後の段落)。
なお(*)のように変数変換してもエネルギー保存則が成り立つのは
dy/dt=d(x+α)/dt=dx/dt+dα/dt=dx/dt
だからです。
どこから観測しても速度は同じ、というふうに考えていいでしょう。
この回答への補足
回答ありがとうございます。
ほとんど解決したのですが、あと一つだけわからないことがあります。
>mv^2/2 + k(x+α)^2/2-(mg)^2/(2k)=一定・・・(☆)
>の形になります。ここで
>y=x+α・・・(*)
とありますがαが気になったので実際に以下のように考えてみました。
バネの自然長をL バネ定数をk 自然長からつりあいの位置までをx
とします。
すると
mv^2/2 + kx^2/2 + mgx
平方完成して
=k/2(x + mg/k)^2 + mv^2/2 - (mg)^2/2k ・・・(*)
となりました。
ここでつりあいの式よりmg = k(L + x)
mg/k = L + x となるのですがこの値を代入すると
(*)はk/2(2x + L)^2 + mv^2/2 - (mg)^2/2k
となってしまい 2x + L は釣り合いの位置からの距離ではないのではないかと思いました。
なにが違っているのかご教授いただけないでしょうか?
お礼の欄に失礼します。
訂正させてください。
>ここでつりあいの式よりmg = k(L + x)
>mg/k = L + x となるのですがこの値を代入すると
>(*)はk/2(2x + L)^2 + mv^2/2 - (mg)^2/2k
>となってしまい 2x + L は釣り合いの位置からの距離ではないので>はないかと思いました。
>なにが違っているのかご教授いただけないでしょうか?
とありますが
ここでつりあいの式よりmg = kx
mg/k = x となるのですがこの値を代入すると
(*)はk/2(2x)^2 + mv^2/2 - (mg)^2/2k
となってしまい 2x は釣り合いの位置からの距離ではないのではないかと思いました。
の間違いです。
>mv^2/2 + kx^2/2 + mgx
はmv^2/2 + kx^2/2 - mgx です。
すると
k/2(x - mg/k)^2 + mv^2/2 - (mg)^2/2k = 一定
となりx - mg/k がつりあいの位置からの距離なのでこれをXと置くと全て上手く行きました。
No.4
- 回答日時:
こう考えるとどうでしょうか、まずは普通にばねの自然長からの変位をx、ばね定数をk、位置エネルギーの基準をばねの自然長の位置にとります。
このとき全エネルギーEはk*x^2/2+m*v^2/2-m*g*x=E=一定です。・・・(1)
このときつりあいの位置はm*g=k*xより
x=m*g/kになっています。そこでつりあいの位置を変位の基準にするた
めにy=x-m*g/kとおけばyはつりあいの位置からの変位になります。
移項してx=y+m*gを(1)に代入して整理すると
k*y^2/2+m*v^2/2-(m*g)^2/2*k=E移項して
k*y^2/2+m*v^2/2=E+(m*g)^2/2*k
ここであらたにE+(m*g)^2/2*k=Uとおくと
k*y^2/2+m*v^2/2=U=一定・・・(2)
終わり
(1)と(2)は一定は一定でも値は違います
この回答への補足
参考書の公式を見る限り重力の影響は消えたと思ったのですが
>ここであらたにE+(m*g)^2/2*k=Uとおくと
の(m*g)^2/2*k に残されているが定数のみで構成されている項なのでそれを含めて一定としている
という解釈で問題ありませんか?
No.3
- 回答日時:
ばね定数をk、ばねについているおもりの質量をm、重力加速度をgとします。
また、単振動の振幅をAとします。ばねの自然長を基準にするとき
つりあいの位置をx0 とすると、kx0=mg ……(1)
振動はつりあいの位置を中心として振幅Aになるので、
最下点での力学的エネルギー
=重力による位置エネルギー+弾性力による位置エネルギー+運動エネルギー
=-mg(x0+A)+(1/2)k(x0+A)^2+0
=-mgx0 - mgA + (1/2)kx0^2 +kx0A + (1/2)kA^2
ここで(1)を使って
=-kx0^2 - kx0A + (1/2)kx0^2 +kx0A + (1/2)kA^2
=-(1/2)kx0^2 + (1/2)kA^2 ……(2)
つりあいの位置を通過するときの力学的エネルギー
=重力による位置エネルギー+弾性力による位置エネルギー+運動エネルギー
=-mgx0 + (1/2)kx0^2 + (1/2)mv^2
ここで(1)を使って
=-kx0^2 + (1/2)kx0^2 + (1/2)mv^2
=-(1/2)kx0^2 + (1/2)mv^2 ……(3)
(2)と(3)で力学的エネルギーが保存しているので、
-(1/2)kx0^2 + (1/2)kA^2 = -(1/2)kx0^2 + (1/2)mv^2
つまり、 (1/2)kA^2 = (1/2)mv^2 ……(4)
この最後の (4) の式は、水平ばね振り子の力学的エネルギー保存の式とおなじで、このことを「重力による位置エネルギーを無視しすることができる」といっているのだと思います。
実際には #1 の回答にあるように
>どこを基準にしようと、重力による位置エネルギーを無視できるはずがない
のですが、最後の式に重力による位置エネルギーが一見すると現れていません。
このわけは、(1/2)kA^2 の項が、弾性力による位置エネルギーではない、というところにあります。振幅 A がばねの自然長からの伸びではなく、自然長から重力によって伸びるつりあいの位置 x0(=mg/k) からの伸びなので、(1/2)kA^2 の中に、弾性力による位置エネルギーと重力による位置エネルギーの両方の効果が含まれていることになります。
別の言い方をすると、ばねにつるされたおもりは、つりあいの位置からの距離に比例した復元力を受けます。(比例定数が k )
この復元力による位置エネルギーが (1/2)kA^2 です。そして、復元力は、ばねの力と重力の合力なので、この位置エネルギーにはばねの力と重力の両方によるものである、といってもいいと思います。
No.2
- 回答日時:
こんばんは。
微積分を使わずに、ということですか。
ばねの伸びをx、ばね定数をk、復元力をFと置けば、
F = -kx ・・・(あ)
です。
質量mのおもりを静かにぶら下げることにより重力mgがかかって、つり合ったときの伸びをx0と置けば、
mg = -kx0 ・・・(い)
です。
(あ)-(い)より、
F-mg = -k(x-x0)
この式の意味するところは、
つり合いの位置x=x0 を基準にすれば、位置x-x0と、おもりにかかる力F-mgとの間に比例関係が成り立つということです。
つまり、
伸びがx0 の場所を中心に単振動するということです。
位置エネルギーは、高さx0 の位置エネルギーmgx0 + その上下に動いたときの位置エネルギー として考えることができます。
この回答への補足
>位置エネルギーは、高さx0 の位置エネルギーmgx0 + その上下に動いたときの位置エネルギー として考えることができます。
その上下に動いたときの位置エネルギーはどこに行ってしまったのでしょうか?
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 物理学 急募 点電荷Bをx=2の位置で静かに放すと,Bは動き出した。Bが動き 出した後の運動について説明した 10 2022/08/08 12:46
- 物理学 高校物理電磁気で質問です。コンデンサーが含まれる回路などの説明で教科書に、「等電位」とか「電位差」っ 7 2023/02/25 17:34
- 物理学 万有引力と重力の位置エネルギーについて 例えば、地球の表面から真上に質量mの球を初速v₀で投げた時の 7 2022/04/18 23:15
- 物理学 物理の惑星の問題 2 2023/03/21 18:51
- 物理学 力学の問題です。質量m1、速度v1の物体Aと質量m2、速度v2の物体Bがx軸上を等速直線運動していて 2 2022/12/24 13:26
- 物理学 物理この問題教えてください バネ振り子のエネルギー保存則で、 おもりを離すとその後、自然長の位置を中 2 2023/01/23 00:23
- 物理学 物理力学の問題を教えてください 2 2022/07/21 15:18
- 物理学 角運動量の定義式 4 2022/12/18 05:36
- 物理学 量子力学 球面調和関数 導出 方位角成分 微分方程式の解 2 2022/07/02 13:40
- 物理学 物理基礎 重力による位置エネルギーの問題で、 (1).(3)の答えが196.-196になったのですが 3 2022/10/14 02:30
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
延びてしまったおもちゃのバネ...
-
目玉クリップの挟む力を強化す...
-
単語の意味を教えてください。
-
バネ定数のことに関して
-
ばねの作用反作用の問題が解説...
-
写真の問題の(1)と(2)について...
-
カラビナの構造
-
市営住宅の家の玄関のドアの郵...
-
ばねの単振動による復元力はf=...
-
バネはどれだけ伸びるでしょう...
-
天井からばねをつるして、おも...
-
巻尺のしくみ
-
物理のエッセンスの例題なので...
-
斜面とばねとおもりの問題、教...
-
衝突のときの接触時間について
-
F=kx とF=2分の1kx二乗って...
-
バネの弾性力について
-
(3)がわかりません
-
中学3の理科(ばねの問題)
-
連成バネ
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
延びてしまったおもちゃのバネ...
-
F=kx とF=2分の1kx二乗って...
-
バネ定数のことに関して
-
単語の意味を教えてください。
-
ばねを半分に分けるとばね定数...
-
カラビナの構造
-
物体にバネとダンパが付いてい...
-
真空遮断器(VCB)について
-
ばねの強さは何で決まるのでし...
-
バネ振り子のバネの長さをもと...
-
自転車のスタンドバネの取り付...
-
衝突のときの接触時間について
-
ばねの質量を考慮すると?
-
ばねの作用反作用の問題が解説...
-
食後の体重が600g増えてたんで...
-
力学 ばねを押した時に指にかか...
-
目玉クリップの挟む力を強化す...
-
これの、 おもりがバネを引く力...
-
両端からひっぱるバネののびと...
-
図のように、質量mのおもりにば...
おすすめ情報