ニュートン法について 初期値

ニュートン法の初期値の設定がいまいち分かりません。
たとえば
e^-x+(x/5)=1
は初期値5に決定することができるみたいなのですが
その理由を教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2008/05/08 18:00

y=f(x)=e^(-x)+(x/5)-1

y'=f'(x)=(1/5)-e^(-x)
f'(x)=0のとき　x=log_e 5=xa≒1.6
f'(x)<0(x<xa),f'(xa)=0,0<f'(x)(x>x1)
x<xaの時
f(x)単調減少、f(0)=0 ⇒ f(x)<0 (0<x<xa)
x=xaで最小（極小）値min= f(xa)<0
x>xaで
f(x)単調増加, f(xa)<0<f(5)=1/e^5>0　⇒ xa<x<5の間でf(x)=0

y=f(x)はx=0とxa<x<5の間でx軸と交点を持ちます。
x<x1で単調減少、x1<xで単調増加ですから
ニュートン法でxa≒1.6<x<5の与えられた方程式の解を求めるには
初期値xoをxa<xを満たし、できるだけx=5に近い初期値に選べば収束が早いという事です。
普通、初期値は半端でない区切りのよい値を選びますので、整数値なら
xo=5がベストです。xo=4,6,3,7の順に少しずつ収束回数が増加しますが、殆ど繰り返し回数の差は数回以内でしょう。ですから初期値xoは3以上であれば収束回数には殆ど差がないですから、必ずしもxo=5でなくても良いかと思います。
ただ,f(5)=(1/e^5)>0と値が確定的に決定できるという点でxo=5は分かりやすい数なのです。

これに反し、f(4)=(1/e^4)-(1/5)は直感的に正負が分かりにくいということです。きちんと計算すれば挟み撃ち法で
(1/3^4)-(1/5)=(1/81)-(1/5)<f(4)<(1/2^4)-(1/5)=(1/16)-(1/5)<0
⇒ f(4)<0
という事は分かりますが,f(5)のようなすっきりした値にはなりません。

No.2 回答者： noname#101087 回答日時： 2008/05/09 09:23

この程度の関数なら目算でもわかりますが、ふつうは粗っぽいグラフを描いてみるのがベターです。

この、
　y(x) = e^-x+(x/5)-1
では、初期値=0 にしちゃうとそこから脱け出せず、もう一つの零点へアプローチできないのです。
「粗っぽいグラフ」を眺めれば、「初期値5に決定する」理由が納得できます。