√３が無理数であることを用いて次の問に答えよ。

√３が無理数であることを用いて次の問に答えよ。

（１）有理数、a,bについて、等式 ａ＋ｂ√３＝０が成り立つならば、a=b=0であることを示せ。
（２）等式 （12-√３）l－（1-2√３）ｍ＝ｌｍ＋３ｎ√３を満たす正の整数の組（ｌ．ｍ．ｎ）を全て求めよ。

二乗して示すのかなとは思ったのですが、わからなくなったので質問します。

わかる方よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： take_5 回答日時： 2008/05/18 17:34

＞（１）有理数、a,bについて、等式 ａ＋ｂ√３＝０が成り立つならば、a=b=0であることを示せ。

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/sqrt2001. …

＞（２）等式 （12-√３）l－（1-2√３）ｍ＝ｌｍ＋３ｎ√３を満たす正の整数の組（ｌ．ｍ．ｎ）を全て求めよ。

(12l-m-lm)+(2m-3n-l)√3=0。判別しにくいので、lをkに変更します。
12k-m-km＝0‥‥(1)、2m-3n-k＝0‥‥(2)が成立する。
(1)でkとmの整数値がわかれば、(2)のnはすぐわかるから、(1)の整数値を求めると良い。
km＋m-12k＝0より、m（k+1）＝12kと変形するとkは自然数から　m＝（12k）/（k+1）＝12-（12）/（k+1）となる。
mが自然数であるためには、（12）/（k+1）も自然数でなければならない。つまり、k+1が12の約数でなければならない。
k+1≧2、12＝1*12、2*6、3*4、であるから、k+1＝2、3、4、6、12となる。
あとは順次、mとnの値が求められる。

答は、（k、m、n）＝（3、9、5）、（5、10、5）