-1、0、1、-2、-1、0、1、2、-3、-2、-1、0、1,2,3、・・のような数列{An}があり、この数列は(-1、0、1)、(-2、-1、0、1、2)、(-3、-2、-1、0、1、2、3)・・のように群に分けたとき、第m群が|X|≦m(mは自然数)を満たす整数Xを小さい順に並べた形となる。
問1 A1000は第何群の第何番目の項か?
問2 A1からAnまでの総和をSnとすると、S1000は何か?
第m群の最終項は、数列{An}の第m^2+2m項になるという所まで求めてみました。合っているか自信は有りませんが・・。これから後に何をしたらいいのかを教えて下さい。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
こんにちは。
>問1 A1000は第何群の第何番目の項か?
まず、A1000が第n群のm番目の数字だとします。
第n群に含まれる数字の個数は、2n+1個ですから、
1≦m≦2n+1です。
つぎに、第(n-1)群までの、数字の個数は、
Σ(k=1からk=n-1まで)(2k+1)となることは分かりますか?
これを計算して第n-1群の最終項までの総個数がわかります。
Σ(k=1からk=n-1まで)(2k+1)=n^2-1ですから、
A1000はそれからm番目ですから
n^2-1+m=1000
ここで、1≦m≦2n+1であるから、
n^2-1+1≦1000≦n^2-1+2n+1
ゆえに、n^2≦1000≦n(n+2)となります。
nに適当な数字を代入してみて、nを求めます。
n=31と求まります。
次に、第30群までの項数の総和は
第k群には(2k+1)個の項があるので
Σ(2k+1)←kは1から30までですね。それは960になるので、
A1000は、第31群の40番目であることが分かります。
>問2 A1からAnまでの総和をSnとすると、S1000は何か?
まず、A1000は第31群の40番目であることが(1)から分かったので
第30群までの総和を考えましょう。
ところで、第1群の総和は-1+0+1=0
第2群の総和は-2+(-1)+0+1+2=0
・・・・・
となっているので、第x群を全て足すと0になっています。
したがって、第30群までの総和は0であるということがいえます。
問題は、第31群の1番目から40番目までを足したらいいということになります。
さて、第31群だけを見てみましょう。
-31,-30,-29,・・・0,1,2,・・
となっています。
これは初項ー31、公差1の等差数列だと考えられますね!
その1番目から40番目までを足していけばいいんです。
この等差数列の一般項は、k-32とかけるので
求める和は、
Σ(k-32)←kは1から40まで
ということになりますね!!
これを求めれば-460であることがわかります。
No.2
- 回答日時:
1.
数列{An}の第m^2+2m=m(m+2)より、
第30群の最終項は、30×32=960
よって、A1000は第31群の1000-960=40番目
2.
第m群の和は0となるから、S1000は第31群の40番目までを求めれ
ば良い
S1000=-31-30- ・・・ -1+0+1+ ・・・+ 8
=-31-30- ・・・ -9=-460
細かい計算は自信ありません。1つづつずれてるかもしれません。
No.1
- 回答日時:
m^2+2m=m(m+2)ですね
m(m+2)<1000となる最大のm=pを求めます。
これは適当に代入すればよいのですよ。
p+1群にa1000がいます。
次にp群までの項数の合計を求めます。
1000から引けば、残りが何番目の項であるかということです。
あとはわかりますね。
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