第10項が15、第20項が14の等差数列の第100項は何か？ 又、第20項けら第100項までの和は何

第10項が15、第20項が14の等差数列の第100項は何か？
又、第20項けら第100項までの和は何か？

解き方を教えて頂けませんか？

No.2 ベストアンサー 回答者： cametan_42 回答日時： 2021/01/11 13:21

等差数列は初項をa_1とし、公差をdとすると、n番目の項をa_nとすると

a_n = a_1 + (n - 1) * d

と表現出来るが、実は第m項の値が何か分かってる場合は、1とmを取っ替えて

a_n = a_m + (n - m) * d

と書ける。
結局、第10項と第20項の値が分かってるので、

a_n = 15 + (n - 10) * d
a_n = 14 + (n - 20) * d

が成り立っている。連立方程式なので公差dを求めると、

d = -1/10

結果第100項は

a_100 = 15 - (100 - 10) /10 = 6

あるいは

a_100 = 14 - (100 - 20) / 10 = 6

で計算可能。

> 第20項から第100項までの和

これは単純に

「初項から第100項までの和」 - 「初項から第20項までの和」

を計算すれば良い。つまり、「第20項から第100項までの和」をSとすると、

S = (a_1 + a_100) * 100/2 - (a_1 + a_20) * 20/2
= 50 * (a_1 + a_100) - 10 * (a_1 + a_20)
= 40 * a_1 + 50 * a_100 - 10 * a_20

a_100 = 6、a_20 = 14っつーのは分かってるんで、

S = 40 * a_1 + 300 - 140 = 40 * a_1 + 160

結局、初項さえ判明すれば解は分かる。
最初の問題の条件を考慮すれば

15 = a_1 - (10 - 1)/10
14 = a_1 - (20 - 1)/10

のどっちを解いても初項a_1は判明し、その値は159/10である。
結果、

S = 40 * 159/10 + 160 = 796

と言うのが答え。

No.4 回答者： cametan_42 回答日時： 2021/01/11 16:30

> 100項までの和から 19項までの和を引けば良い。

(20項まででは無いですよ)

おっとそうだね、ウッカリしてました。
メンゴ。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2021/01/11 14:30

「第10項が15、第20項が14の等差数列」ですから、

第30項が 13、第40項が 12、・・・第100項が 6 となりますね。

つまり、10項で 1 少なくなるので、公差は 0.1 。
初項は 第10項の 9つ前ですから 15+0.1x9=15.9 。
従って、第n項は 15.9-0.1(n-1)=16-0.1n 。
「第20項から第100項までの和」は
100項までの和から 19項までの和を引けば良い。(20項まででは無いですよ)
後は 和の公式に当てはめるだけですから、出来ますよね。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/01/11 12:33

問題後半部分がなければ

１０項、２０項、30項・・・という10項おきの数列を考えらば
100項は簡単に求められます
a[10],a[20],a[30]・・・a[100]という数列は
初項a10が15　で公差が14-15=-1なんで
a10から数えて10番めであるa100は
a100=15-9・1=6
と簡単に求められます

ただ、後半部分もあるので次のように解いておきます
該当の等差数列の初項をa,公差をdとすると
その第n項　a[n]は
a[n]=a+(n-1)d
これに当てはめて
a[10]=a+9d=15…①
a[20]=a+19d=14…②
この連立方程式を解いて
d=-1/10 a=15+(9/10)=159/10
∴an=(159/10)+(n-1)(-1/10)
n=100代入で
a100=(159/10)+(99)(-1/10)=6

で、後半は等差数列の和の公式を用いればよいです
１つの考え方としては
初項から100項までの和を公式で計算(S100とおく）
初項から19項までの和をこで計算(s19)
求めるべき和＝s100-s19 と求めることができます

また　公式を用いるが　和を求めるべき数列の一番目がa20 末項が100とみて
和＝(1/2)x(1番目＋末項)x項数
=(1/2)x(a20+a100)x(100-20+1)としても良さそうです

このほかにも工夫があれば省エネで解けそう・・・