線形空間は必ず基底を持つ（有限次元）

Question

先日某所で、明らかに有限次元のベクトル空間に関すると思える話に出会い、

　　「線形空間は必ず基底を持つ！（{0}は除く）」

とやってしまいました。その時、

　　「持つためには、選択公理が必要」

という指摘を頂いて、「有限次元では（選択公理不要）」と加えたのですが「これって本当にそうなのか？」とふと思い、質問しています。以下、有限次元に限定します。

(1)今までは・・・
　今までは、こう思って来ました。「次元の等しい線形空間は、みな同型」という事から、要は数ベクトル空間について、基底を持つかもたないか、調べれば良いはずだと。
　ｎ次の（ｎ次元とは言いませんの）数ベクトル全体をＶをすれば、Ｖには
自然な生成系、

　Ｂ＝{(δi1)，(δi2)，・・・，(δin)}（δijは、クロネッカーのデルタ）

があり、Ｂが生成系である事はすぐわかり、(δij)らが互いに独立である事もすぐわかり、さらに任意のｖ∈ＶがＢのベクトルに従属なのもすぐわかるから、ｎ次の数ベクトル全体Ｖは、長さがｎの基底を持ちｎ次元で、有限次元線形空間は、選択公理抜きで必ず基底を持つと。

(2)定義に戻ってみると・・・
　ところが基底の定義は、

　　「Ｖから取り出せる、独立なベクトルの集合で、最大本数を持つもの」

となると思います。ここでは有限次元に限定しているので、最大本数と書きました。
　この定義に忠実に従って基底の有無を調べるとしたら、Ｖの部分集合全てを調べなければならない気がします。このような操作のためには、やっぱり選択公理が必要でないのか？、と突然気づきました。有限次元であっても、Ｖに含まれるベクトルは、無数にあるので・・・。

　(1)と(2)は、本質的に同じでなければならないと思います。そうすると(1)においても、どこかで選択公理のお世話になっているんでしょうか？。

arrysthmia · Accepted Answer

基底の定義で、普通に使われるものの一つに
「線型空間の一次独立な部分集合で極大なもの」
というのがあります。（他にも定義のしかたはあります。）

この場合の「極大なもの」とは、
元の個数が最大ということではなく、集合の包含関係での極大、
すなわち、その「部分集合」を真部分集合に持つような
他の「一次独立な部分集合」が存在しないという意味です。

この定義の下で、
ある線型空間に元の個数が有限な基底が存在すれば、
その空間の任意の基底が同じ個数の元を持つことが証明できます。
この「元の個数」が、線型空間の「次元」です。

基底の定義に「個数」を持ち込んでしまうと、最初から
元の個数が定義できないものは基底ではないことになり、
無限次元空間には「基底が存在しない」ことになってしまいます。
それでは、話の順番が変でしょう。

まづ、線型空間の基底を定義し、
次に、基底を用いて空間の次元を定義し、
線型空間を
(0) 基底が存在しないもの
(1) 基底は存在するが、次元が定義できないもの
(2) 基底が存在し、次元が定義できるもの
に分類してみます。

(0)に属する空間は無い…というのが、
発端の「線形空間は必ず基底を持つ！」という主張であり、
(1)に属するものを「無限次元線型空間」、
(2)に属するものを「有限次元線型空間」と呼ぶのです。

次元の定義には、基底の概念を使いますから、
基底を定義する時点で予め「有限次元」が登場してしまっては
循環論であるように思います。

arrysthmia · Answer

No.4 の付け足し：（短く）

基底の定義を「線形空間の一次独立な部分集合で極大なもの」として、
ここで、無限濃度の基底をも認めることにするには、
線型空間の無限な部分集合に対して「一次独立」が定義されていなければなりません。
そのためには、ベクトルの無限集合に対して「線型結合」が定義されていなくては。
（「一次独立」の定義は、わかりますね？）
無限集合の線型結合を作る、すなわち、その元を「取り出して、総和する」には、
「取り出して」の箇所で選択定理が必要になるのです。

koko_u_ · Answer

質疑応答が長い。全部読めない。

単純に基底を定義する段階では、「基底が存在するかどうか」は気にしなくて良いということに気が付けばよいでしょう。

定義の段階では
(ベクトル空間) ⊇ (基底のあるベクトル空間) ⊇　(有限な基底のあるベクトル空間)
ということですね。

最後のカテゴリを「有限次元ベクトル空間」と普通呼ぶので、それは定義した時点で(基底のあるベクトル空間)に含まれます。
証明することは何もありません。

(ベクトル空間)のカテゴリが(基底のあるベクトル空間)と同じかどうかは証明が必要で、選択公理が必要です。
というのは既に質問者さんが記載された通りです。

kabaokaba · Answer

さてさて・・皆さんご指摘になってますが

＞「そういう「個数」に依存しない基底の定義はありますか」と仰っていますが、そのような定義は「無い」と思っています

これが間違い．ちょっと調べれば見つかるし，
私もアイデアは書いたはず．No.4さんも提示されてます．

>これは{v1,...,vn}が、少なくともＶの生成系であるという事であって、基底にはなっていないと思います。

きちんと考えましょう．単に生成系というと
一般には「（一次）独立性」は仮定しません．
{v1,...,vn}が一次独立かつ生成系であるならば
これを{v1,...,vn}を真に含む「一次独立な生成系」は存在しません．
また，このような「一次独立な生成系」が一個でも存在すれば，
「他の一次独立な生成系」の要素数も同じなことも示せます．
この要素数がこだわりの「最大個数」であることも示せます．
線型代数の「基底の取替え定理」とか「基底の交換定理」
みたいな名前で呼ばれてる定理が
ここらの議論の根っこにでてきますが，ご承知ですか？
＃一次独立性ってのはかなり強い条件なのです．

そしてNo.4さんのご指摘そのままですが，
無限も有限も含む，一般のケースの基底の定義では
「最大本数」なんてのを入れるのがまずいのです．


＞vはSの元の一次結合で表すことができます。全部使って、不要な部分の係数は、0とすればいいだけです。

一次独立性はスルーですか？

＞上記定義では、基底の本数から、次元を定義できません。だから最大本数は？、と言ってます。

それができるんです．勉強してください．
これもNo.4さんのご指摘の通り．
もちろん同値な定義は複数あります．

まとめると
・無限・有限次元に関係なく「基底」は定義できる．
・徹底的に一般論でいけば，Zornとかで存在証明する．
・有限次元に限定していいなら，そもそも
「有限個の元からなる一次独立な生成系」が「存在」するものを
「有限次元ベクトル空間」としてしまって議論の範囲を
狭くしてもそれなりに構築できるはず．
となります．

>そう思います。だから、具体的に数ベクトル空間を調べれば良いと思ったわけです。実際やってみたら、「基底はあるんだから」というわけです。

そもそも，ベクトル空間VがR^nと同じっていう段階で
「Vが有限次元」ということを仮定してるわけで
その仮定のもとで「実際に探してあったから有限」ってのは
循環です．順番に書いて見ましょう

・ベクトル空間Vがある
・これは有限次元である
・R^nと同型である
・だから有限個の要素からなる基底がある

という流れが質問者の主張だとこちらは理解しています．
一般に「有限次元」ってのは
「有限個の要素からなる基底がある」と定義されるので
循環です．そうではないならば「有限次元」の定義が
ちがうと思われるのだから
「有限次元の定義は何ですか？」となります．

あと「ベクトル空間として同型」ってことと
「その同型が自然か・意味があるか」ということは
きっちり区別しないといけません．
質問者はごっちゃにしてる感じがしたので
老婆心で追加しましたが，
逆に混乱させたかもしれません．
canonicalとか他にも「generic」という言葉は
なかなかに説明しにくい感覚的な言葉ですが
そのうち自然にわかります．

rinkun · Answer

まず0次元空間{0}も基底はあるよ。空集合だけど。

それで基底の定義は一次独立な部分集合で最大濃度のもので良いの? それなら有限次元の場合の基底の存在はある意味自明だね。
有限次元線形空間Vの次元nの定義は、Vの一次独立な部分集合は高々n個の要素からなり、またn個の要素からなるVの一次独立な部分集合Bが存在することだから。
このときBが基底であることは自明でしょう。

基底の定義は一次独立な部分集合で、線形空間の任意の元を線形結合で表現できるものという方が良くないかな。これだとBが基底になっていることとか示すべきことはあるし。有限次元の場合は簡単だけど。

kabaokaba · Answer

あなたの「基底の定義」は何ですか？
「有限次元」とか「最大の個数」とかにこだわってますが，
そういう「個数」に依存しない基底の定義はありますか？
そもそも「有限次元ベクトル空間」と言ってる段階で
暗黙に「基底の存在」を仮定してませんか？

例えば。。。こんな定義はありでしょう．
ある意味の「逃げ」ですが分かりやすいとは思います．

ベクトル空間Vが有限次元であるとは，
次のようなVの有限部分集合{v1,v2,...,vn}が存在することをいう．
(1)v1,...,vnは一次独立
(2)Vの任意の元vに対して，Vの係数体の元a1,...,anが存在して
v=a1v1+・・・+anvn と表記できる．
このとき，{v1,v2,...,vn}をVの基底と言う．

こうした場合，有限次元に基底が存在するか否かは問題ではなく，
有限次元といった段階で「基底が存在する」ってことになります．
この定義でも有限次元の世界は構築できるでしょう。

もっと抽象的にやるなら選択公理（というか，有名なのはZornの補題を使うやつかな）は必要でしょう．

Vの部分集合SがVの基底であるとは
(1) Sの任意の有限部分集合の元は一次独立である
(2) Vの任意の元vに対して，Sの部分集合をうまく選べば
vはSの元の一次結合で表すことができる．
ことをいう
・・・多分，これくらいの定義で大丈夫だと思う．
集合論の本みればきっと具体例として出てると思う．

あと・・・
＞「次元の等しい線形空間は、みな同型」という事から、要は数ベクトル空間について、基底を持つかもたないか、調べれば良いはずだと。

そもそもの「次元の定義」「基底の定義」が問題なので・・
これは意味を「基底の存在」には何も貢献しません．
加えて，有限次元だけの世界でも
「次元が等しいから同じ」というナイーブな考えは
あんまりよくはありません．
二つの次元の等しいベクトル空間には確かに同型が存在しますが，
その同型がいかに自然か（canonicalか）が大事です．
例えば有限次元ベクトル空間Vに対して，
双対V*，さらに双対V**を考えるとき，三つは次元は同じです．
しかし一般に
VとV*は同じとはみなしませんが，VとV**と同じとみなします．
canonicalな同型だからです．
＃無限次元だと双対の双対が戻ってくるか否かは・・・

rabbit_cat · Answer

質問者の考える「線形空間の次元」の定義を教えてください。

普通、線形空間の次元がｎというのは、そもそも
「Ｖから取り出せる、独立なベクトルの最大本数がｎ本」
という定義なんだと思うのですが。

線形空間は必ず基底を持つ（有限次元）

基底の定義で、普通に使われるものの一つに

No.4 の付け足し：（短く）

質疑応答が長い。

さてさて・・皆さんご指摘になってますが

まず0次元空間{0}も基底はあるよ。

あなたの「基底の定義」は何ですか？

この回答への補足

質問者の考える「線形空間の次元」の定義を教えてください。

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