ベクトルでの三角形の比の値

正三角形ABCのBCを1:2に内分する点をDとして点Cから辺ADにおろした垂線の足をEとするとき
三角形ABCと三角形ABEの比の値を求めよという問題なんですが

正三角形の辺の長さがどんな長さでもいいのはどうしてですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： nettiw 回答日時： 2008/07/13 19:34

△ABC、△ABEの面積を求めているのではなく、

△ABC、△ABEの面積の比を求めているので、
正三角形の辺の長さは必要ありません。

正三角形を遠く/近くから見れば、どのような長さにも見えます。

この問題は、ＡＥとＥＤの比が必要だから、
↑AB=↑b....↑AC=↑c.....↑AE=↑e とでもおいて、
　　　↑e=t[(2↑b+↑c)/3]
　　　↑EC⊥↑AD
↑EC
　　　=↑c-↑e
　　　=↑c-t[(2↑b+↑c)/3]
　　　=[(-2/3)t]↑b+[1-(1/3)t]↑c

([(-2/3)t]↑b+[1-(1/3)t]↑c)・([(2↑b+↑c)/3])=0
　　　　　　　[-2t↑b+(3-t)↑c)]・[2↑b+↑c]=0

AB=BC=CA=L (Lは直に消えるから、１でも２でも・・・）

L^2[-4t+(3-t)-t+(3-t)]=0
-4t+6-2t-t=0...6=7t...t=(6/7)
よって、ＡＥ対ＥＤ＝６対１
あとの面積は・・・。


　　　　　　　　Ｃ
　　　　　　　
　　　　　　　　　　２
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　Ｄ　　　　　　　
　　　　　　　　　　Ｅ　　　　　１

Ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｂ

No.2 回答者： yokkun831 回答日時： 2008/07/13 18:32

最後に求めるのが，面積の比だからです。

面積を求めるのであれば，
辺の長さが与えられていなければ求めることはできません。仮に，
辺の長さをaとでも置いて，必要な面積を求めればいずれも定数×a^2
という形になるはずです。２つの三角形の比を求めれば，a^2が約分で
なくなるわけです。たとえ辺の長さが変わっても，どの三角形も
相似のまま拡大・縮小するだけですので，その比は変わりません。

No.1 回答者： take_5 回答日時： 2008/07/13 18:21

簡単なことだよ。

正三角形ＡＢＣの1辺の長さに無関係に、△ＡＢＣ：△ＡＢＥの比の値が出るから。