関数の逆数の微分公式の示し方について「

積の微分公式
[f(x)h(x)]'=f'(x)h(x)+f(x)h'(x)の示し方について
回答をいただきありがとうございました！！
なんとか理解できました！

関連問題で
[1/g(x)]'=- 1/[g(x)]2乗 を示す問題があるのです。

先ほどの問題と関連付けて
h(x)=1/g(x)とおき解くのかな？と思うのですが
当てはめてもうまくいきません・・。

解き方が間違っているのでしょうか。

どなたかわかればお願いします。

私も引き続き頑張ってみます。

No.1 回答者： 33550336 回答日時： 2008/07/23 00:32

示すべき式が間違えてます。

正しくは
[1/g(x)]'=- [g'(x)]/[g(x)]2乗
ですね。

1/xとg(x)の合成関数として合成関数の微分の公式を適用しましょう。

No.2 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/07/23 00:32

>h(x)=1/g(x)とおき解くのかな？と思うのですが

>当てはめてもうまくいきません・・。

どういう風にあてはめて、どのようにうまく行かないかを書かないと。
補足にどうぞ。

No.3 回答者： sanori 回答日時： 2008/07/23 00:36

こんばんは。

１／ｇ（ｘ＋ｈ）　－　１／ｇ（ｘ）
（通分）
　＝　ｇ（ｘ）／｛ｇ（ｘ）・ｇ（ｘ＋ｈ）｝　－　ｇ（ｘ＋ｈ）／｛ｇ（ｘ）・ｇ（ｘ＋ｈ）｝
（分子どうしの引き算）
　＝　｛ｇ（ｘ）－ｇ（ｘ＋ｈ）｝／｛ｇ（ｘ）・ｇ（ｘ＋ｈ）｝
　＝　－｛ｇ（ｘ＋ｈ）　－　ｇ（ｘ）｝／｛ｇ（ｘ）・ｇ（ｘ＋ｈ）｝

ここで、分子にある　ｇ（ｘ＋ｈ）　－　ｇ（ｘ）　って、
どっかで見たことないですか？

No.4 回答者： sanori 回答日時： 2008/07/23 02:45

再びお邪魔します。

もうちょっとわかりやすく書かないといけませんでした。

（１／ｇ（ｘ））’　＝　｛（１／ｇ（ｘ＋ｈ）　－　１／ｇ（ｘ）｝／ｈ

ここで、まず、｛　｝の中身だけ計算しておきます。

１／ｇ（ｘ＋ｈ）　－　１／ｇ（ｘ）
（通分）
　＝　ｇ（ｘ）／｛ｇ（ｘ）・ｇ（ｘ＋ｈ）｝　－　ｇ（ｘ＋ｈ）／｛ｇ（ｘ）・ｇ（ｘ＋ｈ）｝
（分子どうしの引き算）
　＝　｛ｇ（ｘ）－ｇ（ｘ＋ｈ）｝／｛ｇ（ｘ）・ｇ（ｘ＋ｈ）｝
　＝　－｛ｇ（ｘ＋ｈ）　－　ｇ（ｘ）｝／｛ｇ（ｘ）・ｇ（ｘ＋ｈ）｝

というわけで、分母の　／ｈ　を復活させると、
（１／ｇ（ｘ））’　＝　｛　　｝／ｈ
　＝　－［　｛ｇ（ｘ＋ｈ）　－　ｇ（ｘ）｝／｛ｇ（ｘ）・ｇ（ｘ＋ｈ）｝］／ｈ
　＝　－［｛ｇ（ｘ＋ｈ）　－　ｇ（ｘ）｝／ｈ］／｛ｇ（ｘ）・ｇ（ｘ＋ｈ）｝

ここで、ｈ→０　のとき、
分子の
［｛ｇ（ｘ＋ｈ）　－　ｇ（ｘ）｝／ｈ］
は、というどっかで見た形、つまり、　ｇ’　です。

分母は、ｈ＝０のとき　ｇ^2 です。

よって、
（１／ｇ）’　＝　－ｇ’／ｇ^2
です。
（分子は、１ではなくｇ’です。）

No.5 回答者： nettiw 回答日時： 2008/07/23 05:49

A2乗=A^2 として、

>> [1/g(x)]'=- g'(x)/[g(x)]^2 （誤植訂正。）

[1/g(x)]'
=lim(h->0)【[1/g(x+h)]-[1/g(x)]】/h
=lim(h->0)-【[g(x+h)-g(x)]】/h・【1/g(x+h)g(x)】
=- g'(x)/[g(x)]^2

でいいと思います。