No.3ベストアンサー
- 回答日時:
こんにちわ。
カルダノの方法(公式)を使ってみましょう。
機械的に処理できます。
背景知識としては与式の最小分解体Kとして
f(x)が体F上での既約だとするとF⊂F(√D)⊂Kであり
拡大次数[K:F(√D)]=3 また √D∈F⇔[K:F]=3
これを使います。
このDは判別式です。3つの解をs,t,uとすると
D=(s-t)^2(s-u)^2(t-u)^2=-4a^3-27b^2 これですね。
凄く凄く単純化すると、判別式Dが平方数ならば拡大次数は3になるわけです。色々といじって遊んでみてください。
例えばx^3-3x+1は拡大次数3ですが、x^3+3x+1ならばD<0より次数は6ですね。
No.2
- 回答日時:
あー・・・見事ですねえ>No.1さん
これは,1の3乗根をωとして
ω^{1/3}+ω^{-1/3}
というのがポイントですよ.
ガロア群が三次巡回群になるのもすぐ確認できます.
#たぶん,
#(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)をベースに
#abとa^3+b^3が有理数であって,三次式が既約になればよい
#というあたりからの発想でしょうか
No.1
- 回答日時:
こんばんわ。
x^3-3x+1
これであってるかな、多分あってます
確認するのは自習ということにしときましょう。
この回答への補足
ありがとうございます。
確認するにはどういう手段を用いたらいいでしょうか?
無理数根をα,β,γとしたときにp,q,rを有理数として
β=p+qα+rα^2
となればよいのですがかなり複雑な式になり確認できません。
確認するための道筋を教えてください。
その複雑な式というのは
β^2+αβ+α^2=3かつβ=pα^2+qα+rかつα^3-3α+1=0から
q^2+2pr+3p^2+q+1=0
2qr+6pq-p^2+r+3p=0
r^2-2pq-p=3
を満たす有理数p,q,rの存在がいえればいいのですがとても解けそうにありません。
β=pα^2+qα+r
とする手法は破綻するようです。
どのような手法を使えばいいでしょうか?
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