数学的帰納法

2+4+6+・・・+2n=n(n+1)
を数学的帰納法によって証明せよってもんだいなんですが
与えられた等式を(1)とする
（(1)）n＝１の時右辺=2、左辺=2であるから(1)は成り立つ
（(2)）n=kの時(1)が成り立つと仮定すれば
2+4+6+・・・+2k=k(k+1)
この両辺に2(k+1)を加えると
2+4+6+・・・+2k+2(k+1)=k(k+1)+2(k+1)
と、こんな感じで解いたんですがあっているのでしょうか？それともまだこっから発展させたりするんでしょうか？間違ってたら訂正をお願い致します。

No.3 ベストアンサー 回答者： tamagawa49 回答日時： 2002/12/08 12:31

あってます。

が、証明としては誤解されそうな部分があります。
(1)　左辺=2、右辺=2、よって左辺=右辺　　　　○
(2)　n=kのとき成り立つと仮定する　　　　　　　○
(3)　n=k+1のときも成り立つことを証明する。　△

(3)については式変形はあっていますが、もう少し説明を付けた方がより良いと思われます。

よくある間違いに、これから証明すべき等式を最初から=でつないだまま変形していく間違いがあります。
左辺1=右辺
左辺2=右辺
左辺3=右辺
よって左辺=右辺
のように、最初から=で結んだまま式変形は×。

きちんと両辺を別々に示した方が証明として分かりやすいと思います。
従って(3)は
左辺=2+4+6+…+2k+2(k+1)=k(k+1)+2(k+1)=(k+1)(k+2)
右辺=(k+1)(k+1+1)=(k+1)(k+2)
よって、左辺=右辺。

要するに計算をした結果、最後に左辺=右辺が導かれた。という形式を取った方が良いです。

ただ、左辺= ～ = ～ = 右辺　と最後に右辺を繋ぐのはOKなので、MAEAKIさんの答案も合っているとは思います。左辺=とか、最後に=右辺とか付けた方が良いと思います。
あるいは(1)のようにきちんと左辺=右辺と結論を示した方が良いのでは。

証明って自分では分かっていても、相手が納得しないとダメなので面倒ですね。分かりづらい説明でスミマセンでした。

この回答へのお礼

そうですね、わかりづらいですもんね。
これからは気をつけます。
ありがとうございました

お礼日時：2002/12/09 13:18

No.4 回答者： noname#24477 回答日時： 2002/12/08 13:03

基本的にあっています。

私なりに詳しい解答を書いて見ます。

証明したい式
2+4+6+・・・+2n=n(n+1)

証明
（１）ｎ＝１のとき左辺＝１，右辺＝１・（１＋１）＝２
　　左辺＝右辺　となって成り立つ。
（２）ｎ＝ｋのとき成り立つと仮定すると
　　　2+4+6+・・・+2k=k(k+1) が成り立つ。
　　　この両辺に2(k+1)を加えると
　　　2+4+6+・・・+2k+2(k+1)=k(k+1)+2(k+1)
　　　　　　　　　　　　　　=(k+1)(k+2)
　　　　　　　　　　　　　　=(k+1){(k+1)+1}
この式は証明したい式にn=k+1を代入した式になっているから
n=k+1のときも成り立つ。
（１），（２）よりすべての自然数ｎについて成り立つ。

説明用に詳しく解答を書いたつもりです。
普通はここまで書かなくても正解としてもらえると思います。　

この回答へのお礼

かなり詳しいですよね。
やっぱり最後はn=k+1ときも成り立つもかいたほうがいいんですね。
どうもありがとうございました

お礼日時：2002/12/09 13:19

No.2 回答者： ebinamori 回答日時： 2002/12/08 12:31

2+4+6+・・・+2k+2(k+1)=k(k+1)+2(k+1)=(k+1)(k+2)

ここまで形がはっきりしていたら書く必要は何のかもしれませんが
ｋ（ｋ＋１）にｋ＝（ｋ＋１）を代入すると
（ｋ＋１）（ｋ＋２）
よって
ｎ＝ｋ＋１のとき成り立つ

この回答へのお礼

とりあえず、覚えようと思います。
どうもありがとうございました。

お礼日時：2002/12/09 13:17

No.1 回答者： TK0318 回答日時： 2002/12/08 12:17

ほぼ出来ています。

あとは
2+4+6+・・・+2k+2(k+1)=k(k+1)+2(k+1)=(k+1)(k+2)
よってn=k+1の時も成り立つ。

この回答へのお礼

そうでうすね、
それ重要ですね。どうもありがとうございました。

お礼日時：2002/12/09 13:17