単に多様体の定義とは?

位相多様体や代数多様体や微分多様体など色々な多様体がありますが
単に多様体の定義は?と聞かれれば
「座標系に依存せず、四則演算の自由にできる代数的構造を備えた集合」だと思います。

Aが多様体
⇔(def)
∃+,・:A×A→Aで
(i) +について可換群をなす。
(ii) ∀a,b,c∈A,(ab)c=a(bc)
(iii) a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca
(iv) (単位元の存在)∃e∈A＼z;∀a∈A,ea=ae=a (zは零元)
(v) (・に関しての逆元の存在)∀a∈A,∃b∈A;ab=ba=e
(vi) (・に関して可換)∀a,b∈A,ab=ba

で(i),(ii),…,(vi)のみだとただ単に可換体の定義ですよね。
この他に"座標系に依存せず"の条件を追加すればいいのですね。
"座標系に依存せず"の条件を上記(i),(ii),…,(vi)のように数式で表現するとどのようになりますでしょうか?

No.5 回答者： muturajcp 回答日時： 2010/03/24 15:49

Mが多様体

<->(def)
M を位相空間とする。
任意のx∈Mに対して、x∈Uとなる　M の開集合 U が存在して、
m 次元ユークリッド空間R^mの開集合 U′ への 同相写像f:U→U'が存在する。

「多様体（たようたい、manifold）とは、局所的にユークリッド空間とみなせるような図形のことである。多様体上には好きなところに局所的に座標を描き込むことができる。」
ともいう

"局所的"とはxの近傍Uでということで、座標とはR^mの要素のこと。

すべての多様体は位相多様体に含まれる。
多様体=位相多様体
位相多様体の接頭語の位相は本来不要。
微分可能、複素、代数、等の接頭語のついた多様体はある条件を付加したもの。

No.4 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/08/31 20:37

>ところで、manifoldとvarietyの違いは何でしょうか。

聞くところによると、どうも、特異点があるかなしかということらしいです。

これも文脈に依存するのですが，英語でvarietyとあれば
普通は多項式f1,f2,...,fnがあって，
f1=f2=・・・=fn=0
で定義される集合だと思ってほとんど間違いないです．
丁寧にalgebraic varietyと書いてあることもあります．
もうひとつ類似のものとしては
analytic set（解析的集合）というのがあって
これは多変数の正則関数の共通零点だったりします．
なお，varietyであっても代数構造とは関係ないわけで
一部のvariety，楕円曲線ですけども，に群の構造は入りますね．

フランス語の場合vari\'et\'eなので，ちょっと注意がいりますが，
だいたいの場合，
vari\'et\'es diff\'erentiablesみたいに
何かがついて分かるようなってますね．

No.3 回答者： ojisan7 回答日時： 2008/08/31 19:42

>>単に多様体の定義は?と聞かれれば「座標系に依存せず、四則演算

>>の自由にできる代数的構造を備えた集合」だと思います。

どうして、定義を自分勝手に解釈（作成）してしまうんでしょうか。
代数的構造というんだから、manifoldではなく、varietyということでしょうか。代数多様体は、algebraic varietyといますね。algebraic varietyの定義を調べて下さい。
ところで、manifoldとvarietyの違いは何でしょうか。聞くところによると、どうも、特異点があるかなしかということらしいです。特異点がない代数多様体はalgebraic manifoldというらしい。また、フランスでは（日本語でも）manifoldとvarietyの区別がないらしい。

ともかく、定義は自己流に創作するのではなく、きちんとした書籍で調べてください。定義を創作するのは、ちゃんとした専門家になってから行うべきです。

No.2 回答者： 33550336 回答日時： 2008/08/31 15:07

多様体と可換体とはまったく別の概念です。

No.1さんのおっしゃるとおり、単に多様体と言っても文脈により意味は変わります。

そして貴方が書いている可換体の定義の(v)ですが、
∀a∈A＼{0},∃b∈A;ab=ba=e
が正しいです。

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/08/31 14:28

>単に多様体の定義は?と聞かれれば

>「座標系に依存せず、四則演算の自由にできる代数的構造を備えた集合」
>だと思います。

まったくの誤りです．正しいところは一つもありません．
きちんとした書籍をしらべましょう．
多様体という言葉は文脈に応じて
位相多様体・微分可能多様体・複素多様体など
表すものが違います．
＃manifoldとvarietyの違いもあるけど・・・
なお演算が入っている多様体はまた別な名前になります．
いわゆる「行列」がいい例ですが，こういうのは
Lie群・Lie環というものです．

加えて
>で(i),(ii),…,(vi)のみだとただ単に可換体の定義ですよね。
この定義において，座標系は一切使われていません．
a,b,cで表したものが「座標」であるなんてことはありません．

============
そもそも，何かの演算を集合に定義する場合，
その演算が，集合の要素の「表現」によって影響を受けるのであれば
それはwell-definedではなく，
演算として成立しません．
そのようなものは集合の要素の演算ではなく，
「集合の要素とその表現の組合せ」に対する写像です．

この回答へのお礼

ありがとうございます。

> まったくの誤りです．正しいところは一つもありません．

マジですか。。。

> きちんとした書籍をしらべましょう．
> 多様体という言葉は文脈に応じて
> 位相多様体・微分可能多様体・複素多様体など
> 表すものが違います．

つまり,多様体が定義されていてその定義になんらか条件を付け加えたものが
位相多様体・微分可能多様体・複素多様体と呼ばれるのではないのですか?

それとも位相多様体・微分可能多様体・複素多様体それぞれ全く異なる概念で共通する所は何も無いのですか?

だとしたら多様体の定義とは?
と聞かれても何の多様体なのか指定してあげないと答えようが無いのでしょうか?


色々調べてみましたが
「多様体（たようたい、manifold）とは、局所的にユークリッド空間とみなせるような図形のことである。多様体上には好きなところに局所的に座標を描き込むことができる。」

というのを見かけたのですが、、"局所的に"とは局所座標系という写像が存在するという事でしょうか?

M を位相空間とする。M の開集合 U に対して、m 次元ユークリッド空間の開集合 U′ への 同相写像f:U→U'が存在する時,
Mはfについて多様体をなすとか言ったりするのでしょうか?
これが位相や・分可能や複素や代数とかの接頭語が付かない多様体の定義でしょうか?

すいません。なにとぞ多様体の定義をお教え下さいませ。

お礼日時：2008/09/01 08:20