面積

解決済

  • 質問者：kazukimama
  • 質問日時：2001/02/21 22:27
  • 回答数：5件

円柱の面積の求め方　方程式とか、詳しく教えてください。
明日までにやらなくちゃいけない仕事の中になぜかこんな課題が・・・。
誰か助けてー！

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「円の面積」に関するQ&A： 欠円の面積

A 回答 (5件)

No.3ベストアンサー

  • 回答者： dragon-2
  • 回答日時：2001/02/21 23:14

　ごめん、面積だったね。


　底面の円の半径（ｒ）、高さ（ｈ）
　底面積（Ｓ1）、側面積（Ｓ2）、円周率（π）とします。
１）まず、底面積
　（底面積）＝（半径）×（半径）×（円周率）：円の面積
　　文字式で　Ｓ1＝πｒ＾2
　　これが　上下２つ
２）側面積
　　底面の円周と高さをたてとよこにする長方形です。
　（展開図を考えて下さい）
　　（側面積）＝（円周）×（高さ）
　　　　　　　＝（半径）×２×（円周率）×（高さ）
　　文字式で　Ｓ2＝２πｒｈ
３）合計して
　　全表面積＝２Ｓ1＋Ｓ2
　　　　　　＝２πｒ＾2＋２πｒｈ
　　　　　　＝２πｒ（ｒ＋ｈ）
中学１年生程度の解答で失礼。
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この回答へのお礼

本当に本当にありがとー！！
パソコンだって使い始めの私にとって、こんな質問にこんな親切にこんな早く回答してくださる方がいるなんて、本当に感激ー！
どうも有難うございました。

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お礼日時：2001/02/21 23:26

No.5

  • 回答者： sesame
  • 回答日時：2001/02/21 23:24

>>πｒとは直径×3.14？


あ、rは半径です。

>>とすると直径11m高さ7.7mの円柱の側面は
>>531.9m2？？？？？
直径＝11m ∴半径＝5.5m
したがって円周は11×π
円柱の側面の面積は11×π×7.7＝84.7π m^2 (π＝3.14で計算すると265.958m^2)

…かな？

＃なんか最近の中学ではπ＝3で計算するとかいう話を聞きましたが…。
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この回答へのお礼

バカな私にお付き合いくださいまして誠に有難うございました。本当に助かりました。いつか私に出来る分野で、お困りなことが在りましたらそのときはお役に立ちたいと思います。

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お礼日時：2001/02/21 23:36

No.4

  • 回答者： tarako
  • 回答日時：2001/02/21 23:20

半径×半径×3.14×高さ＝体積


(これは、関係ないか?)
1.半径×半径×3.14=底面(上面)の面積
2.直径×3.14=円周
3.円周×高さ=側面の面積

1.2.3を組み合わせて、
（半径×半径×3.14）×2+（直径×3.14）×高さ=円柱の面積

例題から面積を出すには、
(5.5×5.5×3.14)×2+(11×3.14)×7.7＝455.928
じゃないですか?
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No.2

  • 回答者： dragon-2
  • 回答日時：2001/02/21 23:01

　底面の円の半径（ｒ）、高さ（ｈ）


　底面積（Ｓ）、体積（Ｖ）、円周率（π）とします。
＜解＞
１）（体積）＝（底面積）×（高さ）：角柱の体積も同じ
　　文字式では　Ｖ＝Ｓｈ
２）（底面積）＝（半径）×（半径）×（円周率）：円の面積
　ですから、
　（体積）＝（半径）×（半径）×（円周率）×（高さ）
　文字式で　Ｖ＝πｒ＾2ｈ
　（ｒ＾2　はｒの２乗：２回かけることです。）
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この回答へのお礼

小さい頃から数学なんて大嫌いだった私がいきなりこんな事をさせられて、こんな時間まで(６時から）もうお終いだー！って感じでした。わたしの答えはあってるかわからないんだけどとりあえず眠れそうです。どうも有難うございました。

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お礼日時：2001/02/21 23:19

No.1

  • 回答者： sesame
  • 回答日時：2001/02/21 22:34

上下底面は円の面積の公式(πr^2)で出ますよね。


側面は円周(2πr)×高さでいいのでは？
1個の方程式にまとめるのは自力でやってみましょう。

この回答への補足

πｒとは直径×3.14？
とすると直径11m高さ7.7mの円柱の側面は
531.9m2？？？？？

補足日時：2001/02/21 23:05
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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

円柱S1:x^2+y^2=ax ...(A)
球面S2:x^2+y^2+z^2=a^2 ...(B)

x=rcosφ,y=rsinφ,z=zとおいて円筒（円柱）座標に変換する。
円柱S1:r=acosφ(-π/2≦φ≦π/2) ...(A')
球面S2:r^2+z^2=a^2(0≦r≦a) ...(B')

(1)
V=∫∫∫{x^2+y^2+z^2≦a^2,x^2+y^2≦ax} dxdydz
=∫∫∫{r^2+z^2≦a^2,0≦r≦acosφ,-π/2≦φ≦π/2} rdrdφdz
=4∫∫∫{0≦z≦√(a^2-r^2),0≦r≦acosφ,0≦φ≦π/2} rdrdφdz
=4∫[φ:0→π/2} dφ∫[r:0→acosφ]rdr∫[z:0→√(a^2-r^2)dz
=4∫[φ:0→π/2} dφ∫[r:0→acosφ]r√(a^2-r^2)dr
=4∫[φ:0→π/2} dφ[-(1/3)(a^2-r^2)^(3/2)][r:0→acosφ]
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=(4/3)a^3∫[0→π/2}{1-(sinφ)^3]dφ
=(4/3)(π/2)a^3-(1/3)a^3∫[0→π/2}4(sinφ)^3 dφ
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=2∫∫{D} √{1+(fr)^2+(fφ/r)^2}rdrdφ
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=2∫∫{E} r√{1+r^2/(a^2-r^2)} drdφ
=2a∫∫{E} r/√(a^2-r^2) drdφ
=4a∫∫{E2} r/√(a^2-r^2) drdφ
=4a∫[φ:0→π/2] dφ∫[r:0→acosφ] r/√(a^2-r^2) dr
=4a∫[φ:0→π/2] dφ[-√(a^2-r^2)][r:0→acosφ]
=4a∫[0→π/2] (a-asinφ)dφ
=4a^2∫[0→π/2] (1-sinφ)dφ
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=4(a^2){(π/2)-1}
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円柱S1:x^2+y^2=ax ...(A)
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x=rcosφ,y=rsinφ,z=zとおいて円筒（円柱）座標に変換する。
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球面S2:r^2+z^2=a^2(0≦r≦a) ...(B')

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　（展開図を考えて下さい）
　　（側面積）＝（円周）×（高さ）
　　　　　　　＝（半径）×２×（円周率）×（高さ）
　　文字式で　Ｓ2＝２πｒｈ
３）合計して
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　　　　　　＝２πｒ＾2＋２πｒｈ
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_(._.)_

Aベストアンサー

1)
△ABCと△ADEは相似であるので、底辺、高さ、斜辺の比はどちらも同じ。

△ABCは、高さ８、底辺６の直角三角形なので、三平方の定理より、斜辺ACは１０。

△ADEの斜辺は６（辺AD）なので、底辺は６÷１０×６＝３．６、高さは８÷１０×６＝４．８。

辺DEは△ADEの高さなので４．８ｃｍ。△ADEの面積は底辺×高さ÷２＝３．６×４．８÷２＝８．６４平方ｃｍ。

2)
高さ８ｃｍ、底面の半径が６ｃｍの円柱になる。

側面の面積S1＝半径６ｃｍの円の円周の長さ×高さ８ｃｍ

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半径ｒの円の面積の公式はπｒ２乗なので、半径６の円の面積は、π×６×６．Ｖ１はこれに高さ８をかける。

Ｖ１＝π×６×６×８＝２２８π。

3)
高さ６ｃｍ、底面の半径が８ｃｍの円錐になる。

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半径ｒ、母線ｌの円錐の、扇形の面積はπｌｒ。

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高さは辺ＢＣなので６。底面の半径は辺ＡＢなので８。

Ｖ２＝π×８×８×６÷３＝１２８π。

1)
△ABCと△ADEは相似であるので、底辺、高さ、斜辺の比はどちらも同じ。

△ABCは、高さ８、底辺６の直角三角形なので、三平方の定理より、斜辺ACは１０。

△ADEの斜辺は６（辺AD）なので、底辺は６÷１０×６＝３．６、高さは８÷１０×６＝４．８。

辺DEは△ADEの高さなので４．８ｃｍ。△ADEの面積は底辺×高さ÷２＝３．６×４．８÷２＝８．６４平方ｃｍ。

2)
高さ８ｃｍ、底面の半径が６ｃｍの円柱になる。

側面の面積S1＝半径６ｃｍの円の円周の長さ×高さ８ｃｍ

円柱の体積V1＝半径６ｃｍの円の面積×高さ８ｃｍ

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これを正規化すると単位法線ベクトルｎは (0, cosθ，sinθ)．

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＝ (x, y, z)・n * |dS|
＝ (x, r * cosθ, r * sinθ)・(0, cosθ, sinθ) * |dS|
＝ (r * (cosθ)^2 + r * (sinθ)^2) * r * dθ * dx
＝ r^2 * dθ * dx．

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I1 ＝ r^2 * π * 1 ＝ πｒ^2．


■円柱の底面 (x＝1)

・外向きの単位法線ベクトル：ｎ＝(1，0，0)．

∴ (x, y, z)・dS
＝ (x, y, z)・n * |dS|
＝ (x, y, z)・(1, 0, 0) * |dS|
＝ x * |dS|
＝ |dS|．

これを円柱の底面にわたって積分すると，底面積そのものなので，
I2 ＝ πｒ^2 / 2．


■円柱の底面 (x＝0)

・外向きの単位法線ベクトル：ｎ＝(-1，0，0)．

∴ (x, y, z)・dS
＝ (x, y, z)・n * |dS|
＝ (x, y, z)・(-1, 0, 0) * |dS|
＝ -x * |dS|
＝ 0．

∴ I3 ＝ 0．


■カマボコの底面 (z＝0)

・外向きの単位法線ベクトル：ｎ＝(0，0，-1)．

∴ (x, y, z)・dS
＝ (x, y, z)・(0, 0, -1) * |dS|
＝ -z * |dS|
＝ 0．

∴ I4 ＝ 0．

したがって全体の面積分は I1＋I2＋I3＋I4 ＝ (3/2)πｒ^2 ＝ ６π．

答え合ってますか？

問題の図形は半円柱 (カマボコ型) ですが，
積分する範囲は円柱の側面 (曲面部分) だけでいいのでしょうか，
それともカマボコ型の表面全体でしょうか？
一応各部分に分けて計算します．

円柱座標を使って y ＝ r * cosθ，z ＝ r * sinθ とします．

■半円柱の側面 (曲面部分)

・外向きの法線ベクトル：(0, y，z)＝(0, r * cosθ, r * sinθ)．
これを正規化すると単位法線ベクトルｎは (0, cosθ，sinθ)．

・微小面積 |dS| ＝ r * dθ * dx．

∴ (x, y, z)・dS
＝ (x, y, z)・n * |dS|
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Q円柱と平面方程式の交線について教えて頂きたいです

円柱
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Aベストアンサー

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x=a+(D/2)cosθ
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ca+(cD/2)cosθ+db+(dD/2)sinθ+ez+f=0
z=-(1/e)(ca+(cD/2)cosθ+db+(dD/2)sinθ+f)
z'=-(1/e)(-(cD/2)sinθ+(dD/2)cosθ)=0
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あとは、
cosθ=±c/√(c^2+d^2)
sinθ=±d/√(c^2+d^2)
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