円柱の面積の求め方 方程式とか、詳しく教えてください。
明日までにやらなくちゃいけない仕事の中になぜかこんな課題が・・・。
誰か助けてー!

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円の面積」に関するQ&A: 欠円の面積

A 回答 (5件)

 ごめん、面積だったね。


 底面の円の半径(r)、高さ(h)
 底面積(S1)、側面積(S2)、円周率(π)とします。
1)まず、底面積
 (底面積)=(半径)×(半径)×(円周率):円の面積
  文字式で S1=πr^2
  これが 上下2つ
2)側面積
  底面の円周と高さをたてとよこにする長方形です。
 (展開図を考えて下さい)
  (側面積)=(円周)×(高さ)
       =(半径)×2×(円周率)×(高さ)
  文字式で S2=2πrh
3)合計して
  全表面積=2S1+S2
      =2πr^2+2πrh
      =2πr(r+h)
中学1年生程度の解答で失礼。
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この回答へのお礼

本当に本当にありがとー!!
パソコンだって使い始めの私にとって、こんな質問にこんな親切にこんな早く回答してくださる方がいるなんて、本当に感激ー!
どうも有難うございました。

お礼日時:2001/02/21 23:26

>>πrとは直径×3.14?


あ、rは半径です。

>>とすると直径11m高さ7.7mの円柱の側面は
>>531.9m2?????
直径=11m ∴半径=5.5m
したがって円周は11×π
円柱の側面の面積は11×π×7.7=84.7π m^2 (π=3.14で計算すると265.958m^2)

…かな?

#なんか最近の中学ではπ=3で計算するとかいう話を聞きましたが…。
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    • 0
この回答へのお礼

バカな私にお付き合いくださいまして誠に有難うございました。本当に助かりました。いつか私に出来る分野で、お困りなことが在りましたらそのときはお役に立ちたいと思います。

お礼日時:2001/02/21 23:36

半径×半径×3.14×高さ=体積


(これは、関係ないか?)
1.半径×半径×3.14=底面(上面)の面積
2.直径×3.14=円周
3.円周×高さ=側面の面積

1.2.3を組み合わせて、
(半径×半径×3.14)×2+(直径×3.14)×高さ=円柱の面積

例題から面積を出すには、
(5.5×5.5×3.14)×2+(11×3.14)×7.7=455.928
じゃないですか?
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 底面の円の半径(r)、高さ(h)


 底面積(S)、体積(V)、円周率(π)とします。
<解>
1)(体積)=(底面積)×(高さ):角柱の体積も同じ
  文字式では V=Sh
2)(底面積)=(半径)×(半径)×(円周率):円の面積
 ですから、
 (体積)=(半径)×(半径)×(円周率)×(高さ)
 文字式で V=πr^2h
 (r^2 はrの2乗:2回かけることです。)
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    • 0
この回答へのお礼

小さい頃から数学なんて大嫌いだった私がいきなりこんな事をさせられて、こんな時間まで(6時から)もうお終いだー!って感じでした。わたしの答えはあってるかわからないんだけどとりあえず眠れそうです。どうも有難うございました。

お礼日時:2001/02/21 23:19

上下底面は円の面積の公式(πr^2)で出ますよね。


側面は円周(2πr)×高さでいいのでは?
1個の方程式にまとめるのは自力でやってみましょう。

この回答への補足

πrとは直径×3.14?
とすると直径11m高さ7.7mの円柱の側面は
531.9m2?????

補足日時:2001/02/21 23:05
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Q円柱と球面の囲まれる部分の体積曲面積を求める問題で

円柱S1:x^2+y^2=axと球面S2:x^2+y^2+z^2=a^2,a>0を考える。
(1)S1とS2によって囲まれる部分の体積を求めよ。
(2)球面S2が円柱S1によって切り取られる部分の曲面積を求めよ。
という問題がわかりません。 解説を加えてもらえると幸いです。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

円柱S1:x^2+y^2=ax ...(A)
球面S2:x^2+y^2+z^2=a^2 ...(B)

x=rcosφ,y=rsinφ,z=zとおいて円筒(円柱)座標に変換する。
円柱S1:r=acosφ(-π/2≦φ≦π/2) ...(A')
球面S2:r^2+z^2=a^2(0≦r≦a) ...(B')

(1)
V=∫∫∫{x^2+y^2+z^2≦a^2,x^2+y^2≦ax} dxdydz
=∫∫∫{r^2+z^2≦a^2,0≦r≦acosφ,-π/2≦φ≦π/2} rdrdφdz
=4∫∫∫{0≦z≦√(a^2-r^2),0≦r≦acosφ,0≦φ≦π/2} rdrdφdz
=4∫[φ:0→π/2} dφ∫[r:0→acosφ]rdr∫[z:0→√(a^2-r^2)dz
=4∫[φ:0→π/2} dφ∫[r:0→acosφ]r√(a^2-r^2)dr
=4∫[φ:0→π/2} dφ[-(1/3)(a^2-r^2)^(3/2)][r:0→acosφ]
=4∫[0→π/2} (1/3)[a^3-a^3*(sinφ)^3]dφ
=(4/3)a^3∫[0→π/2}{1-(sinφ)^3]dφ
=(4/3)(π/2)a^3-(1/3)a^3∫[0→π/2}4(sinφ)^3 dφ
=(4/3)(π/2)a^3-(1/3)a^3∫[0→π/2} {3sinφ-sin(3φ)}dφ
=(2/3)πa^3-(1/3)(a^3)[-3cosφ+(1/3)cos(3φ)][0→π/2}
=(2/3)πa^3-(1/3)(a^3){3-(1/3)}
=(2/3)πa^3-(8/9)a^3
=2(3π-4)(a^3)/9

(2)
球面S2が円柱S1によって切り取られる部分の曲面積は対称性から
z=f(x.y),D={(x,y)|x^2+y^2≦ax,x^2+y^2+z^2≦a^2,0≦z}とおくと
S=2∫∫{D} √{1+(fx)^2+(fy)^2}dxdy
=2∫∫{D} √{1+(fr)^2+(fφ/r)^2}rdrdφ
z=f(r,φ)=√(a^2-r^2)
fr=∂f/∂r=-r/√(a^2-r^2),fφ=∂f/∂φ=0
D→E={(r,φ)|0≦r≦acosφ,-π/2≦φ≦π/2}
E→E2={(r,φ)|0≦r≦acosφ,0≦φ≦π/2}
なので
S=2∫∫{E} √{1+(fr)^2} rdrdφ
=2∫∫{E} r√{1+r^2/(a^2-r^2)} drdφ
=2a∫∫{E} r/√(a^2-r^2) drdφ
=4a∫∫{E2} r/√(a^2-r^2) drdφ
=4a∫[φ:0→π/2] dφ∫[r:0→acosφ] r/√(a^2-r^2) dr
=4a∫[φ:0→π/2] dφ[-√(a^2-r^2)][r:0→acosφ]
=4a∫[0→π/2] (a-asinφ)dφ
=4a^2∫[0→π/2] (1-sinφ)dφ
=4(a^2)[φ+cosφ][0→π/2]
=4(a^2){(π/2)-1}
=2(π-2)(a^2)

円柱S1:x^2+y^2=ax ...(A)
球面S2:x^2+y^2+z^2=a^2 ...(B)

x=rcosφ,y=rsinφ,z=zとおいて円筒(円柱)座標に変換する。
円柱S1:r=acosφ(-π/2≦φ≦π/2) ...(A')
球面S2:r^2+z^2=a^2(0≦r≦a) ...(B')

(1)
V=∫∫∫{x^2+y^2+z^2≦a^2,x^2+y^2≦ax} dxdydz
=∫∫∫{r^2+z^2≦a^2,0≦r≦acosφ,-π/2≦φ≦π/2} rdrdφdz
=4∫∫∫{0≦z≦√(a^2-r^2),0≦r≦acosφ,0≦φ≦π/2} rdrdφdz
=4∫[φ:0→π/2} dφ∫[r:0→acosφ]rdr∫[z:0→√(a^2-r^2)dz
=4∫[φ:0→π/2} dφ∫[r:0→acosφ]r√(a^2-r^2)dr
=4∫[φ:0→π/2} dφ[-(1/3)(a^2-r^2)^(3/2)][r:0→acosφ]
=4∫[0→π/2...続きを読む

Q極方程式の面積の求め方

極方程式r=f(θ)で表される図形の角度がα~βの範囲の部分の面積は、
S=1/2∫(α→β)r^2dθ
(インテグラル、αからβまで、2分の1×rの二乗、dθ)
で表されるのでしょうか?教えてください。
もしそうだとしたら、証明もしていただけるとありがたいです。

Aベストアンサー

どの程度厳密な証明が必要なのかわかりませんが、かなり直観的でよければこんな感じでしょう。

r=f(θ)が表す図形の「θからθ+dθまでの部分」を考えます。この場合、dθが微少なので、θのときのrとθ+dθのときのrを同じと見なせます。

すると、「θからθ+dθまでの部分」は、「半径r、中心角dθの(すごく薄い)円弧」と見なせます。

この円弧の面積は、
 πr^2×(dθ/2π) = (1/2)r^2dθ
なので、求めたい面積全体Sは、これをθ=αからβまで積分したものになり、
 S = ∫[α→β](1/2)r^2dθ
  = (1/2)∫[α→β]r^2dθ
となります。

Q円柱の容量(L)を教えてください。

円柱の容量(L)を教えてください。

(1)底の面積が500mm、高さ339.5mmの円柱の容量(L)を教えてください。
また、底の面積が570mmに拡大された場合、上記と同容量にするには
高さは何mmになりますか?

(2)底の面積が520mm、高さ339.5mmの円柱の容量(L)を教えてください。
また、底の面積が570mmに拡大された場合、上記と同容量にするには
高さは何mmになりますか?

計算式もよろしくお願いします。

Aベストアンサー

円柱の体積は
底面積*高さ
で、底面積は
半径*半径*円周率
で与えられます。従って(1)の場合(底の面積が500mmとありますが、これは底面の直径では?)、
250*250*3.14*339.5
で体積(mm3)が求められます。底面の直径が500→570ということは底面積が1.14*1.14倍に
なったということですから、高さを339.5/1.14/1.14 とすれば同じ体積になります。

(2)もやり方は同じです。

Q内部の三角形の面積から台形の面積を求める問題

AD//BCである台形ABCDの対角線の交点をOとし、ΔAOD、ΔBOCの面積をそれぞれ9cm^2、64cm^2とする。このとき、台形ABCDの面積を求めよ。

この問題なのですがうまく方針がたちません。
ΔAOD、ΔBOCの相似比が3:8だということには気づいたのですがその後どこから面積が求められるのかがわかりません。
ヒント的なことでかまいませんので回答いただければ幸いです。よろしくお願いいたします

Aベストアンサー

3:8とわかれば、対応する辺AO:CO=3:8です。
△AOB、△BOCの底辺をそれぞれ、AO,COとみれば、△AOBと△BOCの
面積比も3:8になります。
さらに、△AOB=△CODです。

Q面積

円柱の面積の求め方 方程式とか、詳しく教えてください。
明日までにやらなくちゃいけない仕事の中になぜかこんな課題が・・・。
誰か助けてー!

Aベストアンサー

 ごめん、面積だったね。
 底面の円の半径(r)、高さ(h)
 底面積(S1)、側面積(S2)、円周率(π)とします。
1)まず、底面積
 (底面積)=(半径)×(半径)×(円周率):円の面積
  文字式で S1=πr^2
  これが 上下2つ
2)側面積
  底面の円周と高さをたてとよこにする長方形です。
 (展開図を考えて下さい)
  (側面積)=(円周)×(高さ)
       =(半径)×2×(円周率)×(高さ)
  文字式で S2=2πrh
3)合計して
  全表面積=2S1+S2
      =2πr^2+2πrh
      =2πr(r+h)
中学1年生程度の解答で失礼。

Q円柱と円の方程式

円柱と円の方程式

円柱の方程式を調べてみたところ、

x^2+y^2=1

と分かりました。
しかし、これは、半径1の円の方程式ではないのでしょうか?

また、x^2+y^2=x というようなものも発見しました。
これも円柱の方程式なのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんばんわ。

x^2+ y^2= 1に加えて
・「z= 0」や「z= 1」や「xy平面上において」などとあれば、円になります。
・特に、何も書かれてなければ、zはなんでもよいことになるので、無限に長い円柱(円筒?)になります。
・「0≦ z≦ 5」などと書かれていれば、高さが 5の円柱になります。

空間図形を考えるときには、x, y, zの 3つの座標を考えることになりますから、何も書かれてなければ自由に値をとっていいことになります。

ただし、座標の値は実数ですから、x^2+ y^2+ z^2= 1(半径 1の球)といった場合には、何も書かれてなくても取り得る値に制限がかかります。
(実数であることがある意味制限ですね。)

Q面積&体積を教えて下さい。

AB=8cm,BC=6cmの長方形ABCDにおいて

(1)AC⊥DEのとき、DEの長さと△ADEの面積を求めよ。

(2)ABを軸として長方形ABCDを回転させてできる円柱の側面積S1と体積V1を求めよ。

(3)BCを軸として△ABCを回転させてできる円錐の側面積S2と体積V2を求めよ。円周率はπとする。


AC10cmから先は進みません~!
回答&解説をよろしくお願いします。
_(._.)_

Aベストアンサー

1)
△ABCと△ADEは相似であるので、底辺、高さ、斜辺の比はどちらも同じ。

△ABCは、高さ8、底辺6の直角三角形なので、三平方の定理より、斜辺ACは10。

△ADEの斜辺は6(辺AD)なので、底辺は6÷10×6=3.6、高さは8÷10×6=4.8。

辺DEは△ADEの高さなので4.8cm。△ADEの面積は底辺×高さ÷2=3.6×4.8÷2=8.64平方cm。

2)
高さ8cm、底面の半径が6cmの円柱になる。

側面の面積S1=半径6cmの円の円周の長さ×高さ8cm

円柱の体積V1=半径6cmの円の面積×高さ8cm

半径rの円周の長さの公式は2πrなので、半径6の円の円周は、2π×6。S1はこれに高さ8をかける。

S1=2π×6×8=92π。

半径rの円の面積の公式はπr2乗なので、半径6の円の面積は、π×6×6.V1はこれに高さ8をかける。

V1=π×6×6×8=228π。

3)
高さ6cm、底面の半径が8cmの円錐になる。

S2は円錐を展開した場合の扇型の面積。

半径r、母線lの円錐の、扇形の面積はπlr。

円錐の母線の長さは辺ACなので10。底面の半径は辺ABなので8。

S2=π×8×10=80π。

V2は円錐の体積。

半径rの円が底面、高さhの円錐の体積は、1/3×πr2乗h。

高さは辺BCなので6。底面の半径は辺ABなので8。

V2=π×8×8×6÷3=128π。

1)
△ABCと△ADEは相似であるので、底辺、高さ、斜辺の比はどちらも同じ。

△ABCは、高さ8、底辺6の直角三角形なので、三平方の定理より、斜辺ACは10。

△ADEの斜辺は6(辺AD)なので、底辺は6÷10×6=3.6、高さは8÷10×6=4.8。

辺DEは△ADEの高さなので4.8cm。△ADEの面積は底辺×高さ÷2=3.6×4.8÷2=8.64平方cm。

2)
高さ8cm、底面の半径が6cmの円柱になる。

側面の面積S1=半径6cmの円の円周の長さ×高さ8cm

円柱の体積V1=半径6cmの円の面積×高さ8cm

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Q円柱に内接する4球の半径から円柱の半径と高

半径3の球4個が互いに外接しながら円柱に内接している。3個は底面に乗っており、残りの1個は3個の上に乗って上の面に接している。
このとき、円柱の半径は?また、底面から球の上端までの高さは?
を教えてください。
中学生の息子の勉強を見ているのですが、田舎暮らしで塾もありません。これまで何とかこなしてきたのですが、たまに全然わからない問題があります。そろそろ潮時かと思うのですが、この問題はわからなくて夜もねむれません。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

下の3個の球の中心と、3球の接点、計6点が
ひとつの平面上にあることは、わかりますか?
この断面を作図すれば、円柱の半径が求まります。

4球の中心を各頂点とする三角錐は○○○体です。
○○○を埋めると、三角錐の高さがわかります。
円柱の高さは、三角錐の高さ+球の半径×2ですね。
先の平面と垂直なスクリーンに投影して考えましょう。

Qベクトル解析の面積分

ベクトル解析学の面積分でわからないところがあります。
面積分習いたてであまりわからないのですが、
S:円柱面 y^2+z^2=4
0≦x≦1
z≧0
のとき、次の面積分を求めよ。
∫_[S](xi+yj+zk)・dS

この問題なのですが、
z^2=4-y^2≧0
y^2≧4
-2≦y≦2
くらいまで少し考えてみたのですが、すぐに行き詰まってしまいました。
この後はどうすればいいのでしょうか。
今まではこの後に
z=f(x,y)
とかになり、fxやfyを出せたのですぐにできたのですが、zがxで表現できないので…
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

問題の図形は半円柱 (カマボコ型) ですが,
積分する範囲は円柱の側面 (曲面部分) だけでいいのでしょうか,
それともカマボコ型の表面全体でしょうか?
一応各部分に分けて計算します.

円柱座標を使って y = r * cosθ,z = r * sinθ とします.

■半円柱の側面 (曲面部分)

・外向きの法線ベクトル:(0, y,z)=(0, r * cosθ, r * sinθ).
これを正規化すると単位法線ベクトルnは (0, cosθ,sinθ).

・微小面積 |dS| = r * dθ * dx.

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・n * |dS|
= (x, r * cosθ, r * sinθ)・(0, cosθ, sinθ) * |dS|
= (r * (cosθ)^2 + r * (sinθ)^2) * r * dθ * dx
= r^2 * dθ * dx.

これを 0≦θ≦π,0≦x≦1 の範囲で積分すると,円柱側面での面積分は,
I1 = r^2 * π * 1 = πr^2.


■円柱の底面 (x=1)

・外向きの単位法線ベクトル:n=(1,0,0).

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・n * |dS|
= (x, y, z)・(1, 0, 0) * |dS|
= x * |dS|
= |dS|.

これを円柱の底面にわたって積分すると,底面積そのものなので,
I2 = πr^2 / 2.


■円柱の底面 (x=0)

・外向きの単位法線ベクトル:n=(-1,0,0).

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・n * |dS|
= (x, y, z)・(-1, 0, 0) * |dS|
= -x * |dS|
= 0.

∴ I3 = 0.


■カマボコの底面 (z=0)

・外向きの単位法線ベクトル:n=(0,0,-1).

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・(0, 0, -1) * |dS|
= -z * |dS|
= 0.

∴ I4 = 0.

したがって全体の面積分は I1+I2+I3+I4 = (3/2)πr^2 = 6π.

答え合ってますか?

問題の図形は半円柱 (カマボコ型) ですが,
積分する範囲は円柱の側面 (曲面部分) だけでいいのでしょうか,
それともカマボコ型の表面全体でしょうか?
一応各部分に分けて計算します.

円柱座標を使って y = r * cosθ,z = r * sinθ とします.

■半円柱の側面 (曲面部分)

・外向きの法線ベクトル:(0, y,z)=(0, r * cosθ, r * sinθ).
これを正規化すると単位法線ベクトルnは (0, cosθ,sinθ).

・微小面積 |dS| = r * dθ * dx.

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・n * |dS|
= (x, r...続きを読む

Q円柱と平面方程式の交線について教えて頂きたいです

円柱
(x-a)^2+(y-b)^2=(D/2)^2  ,  0<=z<=1000
平面方程式
cx+dy+ez+f=0

上のような円柱と平面方程式とが交わってできる楕円の方程式、また
その楕円上の点のうち最大と最小の値をとるzの求め方について教えて頂きたいです。
宜しくお願いします。

Aベストアンサー

円柱の式を極座標で表すと、
x=a+(D/2)cosθ
y=b+(D/2)sinθ
これを平面の式に代入すると、
ca+(cD/2)cosθ+db+(dD/2)sinθ+ez+f=0
z=-(1/e)(ca+(cD/2)cosθ+db+(dD/2)sinθ+f)
z'=-(1/e)(-(cD/2)sinθ+(dD/2)cosθ)=0
より、tanθ=d/cのときzは極値をとります。
あとは、
cosθ=±c/√(c^2+d^2)
sinθ=±d/√(c^2+d^2)
をz=・・・の式に代入すれば、最大最小が出てきます。


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