sp2混成軌道

φ1=cφs+√1-c2(cの二乗)φpx
φ2=cφs+√1-c2(cの二乗)(-1/2φpx+√3/2φpy)
φ2=cφs+√1-c2(cの二乗)(-1/2φpx-√3/2φpy)
ここで、cは係数となるが、φ1φ2φ3が互いに直交するために、
c2(二乗)-1/2(1-c2(二乗))=0が満たされなければならない、と本に書いてあるのですが、なぜこの式になるのでしょうか？？
また、いきなり「上の3つの波動関数によりsp2混成軌道を作る」と書いてあるのですが、この波動関数を導く方法をご存知であれば教えていただきたいのですが。よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： doc_sunday 回答日時： 2008/10/04 09:57

cは規格化定数です、ご存知ですよね。

本当はユニタリ共役を取りますが、略して、
<φ1｜φ2>=(cφs+√1-c^2φpx)(cφs+√1-c^2(-1/2φpx+√3/2φpy))
を作るとφs、φx、φyは互いに直交しているので乗じられた項はゼロになり、同じものの二乗は規格化されているので1になります。よって、
=c^2-(1/2)(1-c^2)
φ1とφ2は直交しているのでこれもゼロにならねばなりません。
他の組み合わせも同じです。
何故この三つかと言うと、xy平面内で初めの一つ(この場合φ1)をｘ方向に取った為、φ2とφ3はそれぞれx方向と120度をなすx成分y成分になりかつ、上記の「規格化定数」の制限のためこの大きさになりました。

No.2 回答者： htms42 回答日時： 2008/10/05 11:22

ｓｐ２の混成軌道というのはｓ、ｐｘ、ｐｙの３つの軌道のの一次結合で平面３方向に分布する軌道を作るというものです。

波動関数の関数形は
φｓ＝ｇ(ｒ)
φｐｘ＝ｘｆ(ｒ)
φｐｙ＝ｙｆ(ｒ)
の様になっています。
いま１つの軌道がｘ方向に分布していて残りの２つが－ｘ方向から角度±θ/２だけｙ軸の方向に開いた方向に分布しているとします。２つの方向の間の角度はθです。
ベクトルの回転と同じ考えで
ｐ1＝φｐｘ
ｐ2＝－φｐｘcos(θ/2)＋φｐｙsin(θ/2)
ｐ3＝－φｐｘcos(θ/2)－φｐｙsin(θ/2)
になります。
ｐ２、ｐ３は規格化はされていますが直交はしていません。
ｓ軌道との一次結合を取ります。
ｈ1＝ｃ1φｓ＋ｃ2ｐ1
ｈ2＝ｃ1'φｓ＋ｃ2'ｐ2
ｈ3＝ｃ1'φｓ＋ｃ2'ｐ3
規格化の条件、直交の条件は
(ｃ1)^2＋(ｃ2)^2＝１
(ｃ1')^2＋(ｃ2')^2＝１
ｃ1ｃ1'＋ｃ2ｃ2'cos(θ/2)＝０
(ｃ1')^2＋(ｃ2')^2cosφ＝０

これより
(ｃ1)^2＝(１＋cosθ)/(１－cosθ)
(ｃ2')^2＝cosθ/(cosθ－１)

θ＝１２０°の時は
(ｃ1)^2＝2/3
(ｃ1')^2＝1/3
です。
混成軌道は混ぜるということですから１２０°になる混ぜ方だけしかないのではありません。直交する３つの波動関数から一次結合で新たに直交する３つの波動間数を求めたということです。
ｈ２、ｈ３の開き方が変わるとｈ1のふくらみの程度も変わります。

ｓｐ３の場合も同じようにしてできます。
ｚｘ面内に２つ、ｚｙ面内に２つというイメージの場合はここでやったｈ２、ｈ３のやり方を繰り返すと出来ますのでやりやすいです。
Ｈ２Ｏなどに対応します。でもＮＨ３の場合のように1つと3つに分けてやる場合は少し面倒ですね。３次元での回転が必要になってきます。