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線形２階微分方程式と非線形２階微分方程式の違いは？

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  • 質問者：globe009
  • 質問日時：
  • 回答数：3件

数学用語の意味の違いがいまいちつかめません。

(1)【線形２階微分方程式】
未知数y(x)とその導関数y'(x),y''(x)についての線形の微分方程式
　　　y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
を 2階線形微分方程式という．最も簡単な例として
d^2f(x)/dx^2=0
がある。

(2)【非線形２階微分方程式】
非線形２階微分方程式の定義がテキストには載っていなかったのですが、
　　　y''+p(x)y'+q(x)y　ノットイコール　f(x)
が非線形２階微分方程式ということでしょうか？

(1)と(2)の違いがどこにあるのか、はっきりせずにモヤモヤしているので、
スッキリさせたいです。どなたか数学に詳しい方がいらっしゃれば、
どうかご教授下さい。よろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

No.3ベストアンサー

  • 回答者： zk43
  • 回答日時：

線形微分方程式は、y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)


など、微分演算子を、D=Dxx+p(x)Dx+q(x)のように
ひとつにまとめて、
Dy=f(x)
のように書けるものです。
ここに、Dxxはxで2回微分、Dxはxで1回微分することを意味する。
関数全体の空間をベクトル空間と見て、
Dは関数空間の間の線形写像になっているから線形微分方程式
といいます。
一方、y''y+y'=f(x)のようなものは、Dy=f(x)の形に書けないので、
線形微分方程式とは言いません。
要するに、y,y',y'',…の線形結合＝f(x)のタイプが線形微分方程式
で、そうでないものが、非線形微分方程式です。
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No.2

  • 回答者： Mr_Holland
  • 回答日時：

　簡単に言います。


　ｙ、ｙ’、ｙ’’同士の掛け算がなければ線形、あれば非線形です。

（非線形の例）
　y^2、yy'、y'^2、y'y''、yy''、y''^2、y^3、yy'y''　など
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この回答へのお礼

わかりやすくて、感動しました！
友だちに自慢できます笑。
ありがとうございました。

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お礼日時：2008/10/04 10:42

No.1

  • 回答者： Ae610
  • 回答日時：

未知関数yその導関数y'(x),y''(x)について1次式のとき線形


y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)は線形

未知関数yその導関数y'(x),y''(x)について1次式になっていないとき非線形
例えば非線形の例：
y'y''+p(x)y'+q(x)y^2=f(x)
y''+μ(y^2-1)y'+y=0・・・van der pol方程式
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この回答へのお礼

とてもわかりやすいご解説、
ありがとうございました。
これでスッキリしました！

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お礼日時：2008/10/04 10:44

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Q線形・非線形って何ですか？

既に同じようなテーマで質問が出ておりますが、
再度お聞きしたく質問します。

※既に出ている質問
『質問：線形、非線型ってどういう意味ですか？』
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=285400
結局これを読んでもいまいちピンと来なかった...(--;


1.線形と非線形について教えてください。
2.何の為にそのような考え方(分け方)をするのか教えてください。


勝手なお願いですが、以下の点に留意いただけると大変うれしいです。
何せ数学はそんなに得意ではない人間＋歳なので...(~~;

・わかりやすく教えてください。(小学生に説明するつもりぐらいだとありがたいです)
・例をあげてください。(こちらも小学生でもわかるような例をいただけると助かります)
・数式はなるべく少なくしてください。

『そんな条件じゃ説明できないよー』という方もいると思いますが、どうぞよろしくお願いいたしますm(__)m

Aベストアンサー

昨日「線形の方がなんとなくてわかりやすくないですか」と書いたんですが、やっぱり理系の人間らしく、もうちょっときちんと説明してみます。昨日は数式をなるべく出さないように説明しようとがんばったんですが、今日は少しだけ出しますが、勘弁してください。m(__)m（あと、長文も勘弁してください）


数学的にはちょっとここまで言えるかわかりませんが、自然界の法則としては、「線形」が重要な意味を持つのは、ｘの値が変化するにつれて変化するｙがあったときに、

（ｙの増加量）／（ｘの増加量）＝Ａ（一定）

という規則が成り立つからです。

ｘやｙの例としては昨日の例で言う例１だとｘがガムの個数、ｙが全体の金額、例２だとｘが時間、ｙが走った距離です。

この規則が何で役に立つかというと、式をちょっと変形すると、

（ｙの増加量）＝Ａ×（ｘの増加量）・・(1)

ということがわかります。つまり、Ａの値さえわかれば、ｘが増えたときのｙの値が容易に推測できるようになるわけです。


ここで「Ａの値さえわかれば」と書いていますが、この意味を今から説明します。

自然界の法則を調べるためには何らかの実験を行います。例えば、りんごが木から落ちる運動の測定を行います。
ここから質問者様がイメージできるかわかりませんが、りんごは時間が経つにつれて（下に落ちるにつれて）落下するスピードが速くなるんです。今、実験として、１秒ごとにりんごのスピードを測定したとします。そしてその結果をグラフにプロットしていくと、直線になることがわかります。（ここがわかりにくいかもしれませんが、実際に実験を行うとそのようになるのです）

数学の問題のように初めから「時速１００kmで走る」とか「１個１００円のガム」とかいうことが与えられていれば直線になることはすぐにわかります。
しかし、自然界の法則はそうもうまくいきません。つまり、実験を行ってその結果をプロットした結果が直線状になっていたときに初めて「何らかの法則があるのではないか」ということがわかり、上で書いた「Ａの値さえわかれば」の「Ａ」の値がプロットが直線状になった結果、初めてわかるのです。

そして、プロットが直線状になっているということは、永遠にそうなることが予想されます。つまり、今現在はりんごが木から落ちたときしか実験できませんが、その結果を用いて、もしりんごが雲の上から落としたときに地面ではどのくらいのスピードになるかが推測できるようになるわけです。ここで、このことがなぜ推測できるようになるかというと、(1)で書いた関係式があるからです。このように「なんらかの法則があることが推測でき、それを用いて別の事象が予言できるようになる」ことが「線形」が重要だと考えられる理由です。

しかし、実際に飛行機に乗って雲の上からりんごを落としたらここで推測した値にはならないのです。スカイダイビングを想像するとわかると思いますが、最初はどんどんスピードが上がっていきますが、ある程度でスピードは変わらなくなります。（ずっとスピードが増え続けたら、たぶんあんなに空中で動く余裕はないでしょうか？？）つまり、「線形から外れる」のです。

では、なぜスピードが変わらなくなるかというと、お分かりになると思いますが、空気抵抗があるからなんですね。（これが昨日「世の中そううまくはいかない」と書いた理由です）つまり、初めは「線形」かと思われたりんごを落とすという実験は実際には「非線形」なんです。非線形のときは(1)の関係式が成り立たないので、線形のときほど容易には現象の予測ができないことがわかると思います。


では、非線形だと、全てのことにおいて現象の予測が難しいのでしょうか？実はそうでもありません。例えば、logは非線形だということをNo.5さんが書かれていますが、「片対数グラフ」というちょっと特殊な形のグラフを用いるとlogや指数関数のグラフも直線になるんです。つまり、普通のグラフでプロットしたときに「非線形」になるため一見何の法則もないように見えがちな実験結果が「片対数グラフ」を用いると、プロット結果が「線形」になってlogや指数関数の性質を持つことが容易にわかり、それを用いて現象の予測を行うことが（もちろん単なる線形よりは難しいですが）できるようになるわけです。


これが私の「線形」「非線形」の理解です。つまり、

1) 線形の結果の場合は同様の他の事象の推測が容易
2) 非線形の場合は同様の他の事象の推測が困難
3) しかし、一見非線形に見えるものも特殊な見方をすると線形になることがあり、その場合は事象の推測が容易である

このことからいろいろな実験結果は「なるべく線形にならないか」ということを目標に頑張ります。しかし、実際には先ほどの空気抵抗の例のように、どうしても線形にはならない事象の方が世の中多いんです。（つまり、非線形のものが多いんです）

わかりやすいかどうかよくわかりませんが、これが「線形」「非線形」を分ける理由だと思っています。

やっぱり、「線形の方がなんとなくわかりやすい」くらいの理解の方がよかったですかね(^^;;

昨日「線形の方がなんとなくてわかりやすくないですか」と書いたんですが、やっぱり理系の人間らしく、もうちょっときちんと説明してみます。昨日は数式をなるべく出さないように説明しようとがんばったんですが、今日は少しだけ出しますが、勘弁してください。m(__)m（あと、長文も勘弁してください）


数学的にはちょっとここまで言えるかわかりませんが、自然界の法則としては、「線形」が重要な意味を持つのは、ｘの値が変化するにつれて変化するｙがあったときに、

（ｙの増加量）／（ｘの増加量）＝...続きを読む

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Q微分方程式　線形　非線形

前回の質問の続きです。
前回の質問内容：http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7818206.html

ラプラス方程式が、2階線形偏微分方程式、
ポアソン方程式が、2階非線形偏微分方程式であることは
理解できました。ありがとうございます。

微分方程式で参考書やインターネットにあった線形微分方程式と
非線形微分方程式を以下に示します。

線形微分方程式
（1）y”+y’-2x＝0
（2）y’+xy=1
（3）(x-1)y''-xy'+y=0

非線形微分方程式
（1）（y”）^2+y’-2x=0
（2）x（y”’）^3+y’=3
（3）y・y’+xy=1

上記、線形/非線形の分類に間違いはあるでしょうか？

非線形微分方程式の(3)y・y’+xy=1は、なぜ非線形となるのでしょうか？
y・y’+xy=1⇒y’+x=1/y⇒y’+x-1/y=0は線形ではないでしょうか？

線形微分方程式（2）y’+xy=1も、xy’+xy=1となると非線形になるの
でしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

←A No.3 補足

＞ 多項式においてxとyを共に変数とすると、
＞ xyもyyもどちらも2次ですよね？
A No.3 を、ほとんど読んでないようですね？

xy も yy も { x,y } については 2 次です。
しかし、y についての微分方程式の次数を数えるときは、
{ y,y',y'',y''',… } についての次数を見るのです。

x は、{ y,y',y'',y''',… } に含まれていません。
yy' は、y と y' が 1 次づつの積で { y,y',y'',y''',… } については 2 次、
xy' は、{ y,y',y'',y''',… } に含まれるのが y だけで 1 次です。

(u-1)(v^2+v+1)w が、{ u,v } について 3 次であることも解りますか？


また、
＞ yy’とxy’におけるxとyはどちらも微分していないので、
のようなことが気になってしまうなら、

yy’+xy=1 は、AB+xA-1=0 の A,B に { y,y',y'',y''',… } の
どれかを代入したもの。AB+xA-1 は { A,B } について何次式か？
と考えてみるとよいと思います。

微分方程式を、多変数多項式=0 の多変数に y または y の高次導関数を
代入したものと見たときに、左辺の多項式の次数が微分方程式の次数。
それが 1 次なら、線型。更に定数項が 0 なら、同次 1 次です。

←A No.3 補足

＞ 多項式においてxとyを共に変数とすると、
＞ xyもyyもどちらも2次ですよね？
A No.3 を、ほとんど読んでないようですね？

xy も yy も { x,y } については 2 次です。
しかし、y についての微分方程式の次数を数えるときは、
{ y,y',y'',y''',… } についての次数を見るのです。

x は、{ y,y',y'',y''',… } に含まれていません。
yy' は、y と y' が 1 次づつの積で { y,y',y'',y''',… } については 2 次、
xy' は、{ y,y',y'',y''',… } に含まれるのが y だけで 1 次です。

(u-1)(v^2+v+1)w ...続きを読む

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Q非線形微分方程式の問題です

非線形微分方程式について質問です。
とある大学院試験の数学の問題で次のような問題がありました。
y = dy/dx (x) + 4(dy/dx)^2
この微分方程式は (dy/dx)^2 の項があり、非線形微分方式です。
非線形微分方程式は解を求めるのが大変難しいだけでなく、解が求められないものもたくさん存在します。

私はこの問を解けませんでした。
解くことは可能なのでしょうか。
お願いします。

Aベストアンサー

a^2y=ax+4
(補足）まじめに解くと
y'=pとおけば
y =4p^2 + xp
xで微分すると
p=8pp'+p+xp'
p'=0 →p=a(定数）
または、
p=-x/8
p=aのとき
y =4a^2 +ax
y=C(x+2C)

p=-x/8のとき
ｙ= -x^2/16（これが抜けてた。こっちが特殊解？）

＞非線形微分方程式では dy/dx をこのように y や x とは一見独立したようなものとして扱うのが定石なんでしょうか。

というより
1階高次常微分方程式の解法手順で解くと
p'=0 →p=a(定数）
が出てくるから。
p'=0 →p=a(定数）
が出てこない一般の場合は、意味がない
（定石）
y=f(p、x)
と解けるときは、両辺をｘで微分して（ｐの微分方程式にして）
ｐを求めて、y=f(p、x)に代入する。
x=ｆ（p、y)のときはｙで微分する（1/pとすれば上とおなじ）
などなど
＞非線形微分方程式は解を求めるのが大変難しいだけでなく、解が求められないものもたくさん存在します。
というのはあくまで一般論。とくに大学院試験の数学の問題では
名前のついた（解くことができる）有名な”非線形の”方程式が出る。
（とおもう）

a^2y=ax+4
(補足）まじめに解くと
y'=pとおけば
y =4p^2 + xp
xで微分すると
p=8pp'+p+xp'
p'=0 →p=a(定数）
または、
p=-x/8
p=aのとき
y =4a^2 +ax
y=C(x+2C)

p=-x/8のとき
ｙ= -x^2/16（これが抜けてた。こっちが特殊解？）

＞非線形微分方程式では dy/dx をこのように y や x とは一見独立したようなものとして扱うのが定石なんでしょうか。

というより
1階高次常微分方程式の解法手順で解くと
p'=0 →p=a(定数）
が出てくるから。
p'=0 →p=a(定数）
が出てこない一般の場合は、意味...続きを読む

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Q微分方程式の線形、非線形の証明

「y' * y'' = 1 　…(*) という微分方程式が線形であるか、非線形であるかを証明せよ。」
（ただし、*は掛け算、y'はxの１階微分、y''はxの２階微分であるとする。）

【自分の考察】
２階線形微分方程式の定義は、
P0(x)y'' + P1(x)y' + P2(x)y = Q(x)
であるので、(*)はこの形に当てはまらず、
y' * y''　同士の掛け算になっているので、
『非線形』だと思う。

ここまでは、予想がついたのですが、
もっと数学的に証明することはできるのかと
疑問に思いまして、質問させていただきました。

線形関数で学習した、
f(x1 + x2) =f(x1) + f(x2)
f(ax) = af(x)
などを、使うのかと思ったのですが、
よくわかりません。

簡単そうに見えるのに、
まだ先が見えてこないので、
どなたかご教授いただければと思います。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

＞線形関数で学習した、
＞f(x1 + x2) =f(x1) + f(x2)
＞f(ax) = af(x)
＞などを、使うのかと思ったのですが、
＞よくわかりません。

　良い線行っています。
　次のどちらか一方でも満足できないことを示せれば非線形であるということができます。

１）　与えられた微分方程式を満たす関数にy1とy2の２つがあったとします。このときy＝y1+y2は微分方程式の解であると言えるか。

２）　与えられた微分方程式を満たす関数にy1があったとき、ｙ＝ay1（ａは任意の実数）が微分方程式の解であると言えるか。

　与えられた微分方程式では、このどちらもいうことができませんので「非線形」ということになります。

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Q線形、非線形、同時、非同時の違い

微分、積分を勉強すると線形、非線形、同時、非同時と出てくるのですがその違いはいったいどういうものなんでしょうか？高校、大学と文系の勉強をしていたのでその違いがわかりません！

Aベストアンサー

自信はないですが、

微分方程式では、(yはxの関数、y^{n}でyのn階微分を表すとして)

a0(x)*y+a1(x)*y^{1}+…+an(x)*y^{n}=b(x)

と表されるものを"線形"微分方程式と呼び、

そうでないものを"非線形"微分方程式と呼びます。
例えば,y^{i}*y^{j}の項があったりすると、非線形微分方程式です。


上記線形微分方程式の中で,

b(x)=0であるものが"同次"方程式(or斉次方程式)
b(x)≠0であるものが"非同次"方程式(or非斉次方程式)

とか、いう感じだった気がします。

なお、y´=f(y/x)の形の微分方程式も同次方程式と呼ばれていたと思います。

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Q微分方程式の解法

こんにちは。微分方程式で分からない問題があります。

ｙ＝(dx/dy)x+4(dx/dy)^2

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自分が微分方程式を解くときは完全にパターンで解いているのですがその中で(dx/dy)^2というものは見たことがありません。

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よろしくお願いいたします。

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dx/dyがdy/dxの書き間違いだという前提でお答えします。

(dy/dx)^2とは、yをxで微分したものを2乗したものです。
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大学院入試でTOEICの点数を英語の点数として換算している大学院が多くあると知ったのですが大学院別にどのぐらいが合格点なのでしょうか？
東大の院生の平均点が730というデータはネットでみたのですが他のいろいろな大学院について教授からや友達からの情報でもいいので参考にさせてください。

Aベストアンサー

このサイトに、大学院入試でTOEIC(R)Testを活用する５２の大学院が、
国公立、私立別で掲載されており、
ある一定のスコアで、英語の独自試験免除など、詳しい情報が見れます！

参考URL：http://www.toeicclub.net/graduateschool.html

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線形微分方程式の線形の定義がわかりません．
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D=d/dxと書くと、{a1*D^n+a2*D^(n-1)+…+an*D+a(n+1)}f=gの形の微分
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形空間と考えられます。無限次元の関数空間です。
そして、微分作用素a1*D^n+a2*D^(n-1)+…+an*D+a(n+1)を改めてDと
書くと、D(f+g)=Df+Dg、D(af)=a*Dfが成り立ち、関数空間の間の線型
写像と考えられます。このようなことから、上の形の微分方程式は線形
と呼ばれます。
つまり、微分作用素が関数空間の間の線型写像かどうかということで
す。
このように問題を捉えなおすことで、一般的な解法ができたり、解の存
在が示せたりして、このような考えをするのが関数解析といわれる数学
の分野です。

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Q斉次とは？（漢字と意味）

"斉次"という漢字表記と意味の対応についてお尋ねしたいです。

次数が斉しい、と訓読できると思うのですが、
ここでいう次数とは何の次数なのでしょうか？

Aベストアンサー

　ご存じの通り、「斉次」＝「次数が斉（ひと）しい」　でよろしいと思います（英語では、homogenous）。また、別の言い方としては「同次」ともいいます。

　さて、お尋ねの次数についてですが、例えば、ｘとｙの多項式の場合は、ｘとｙを同じものとして扱って、同じ次数（ｘとｙを掛けた回数）だけで表されるものを「斉次」といいます。

　例）○　x^3+x^2・y+x・y^2+y^3　　　（ｘ、ｙについての３次の斉次多項式）
　　　×　x^3+x^2・y+x・y^2+y^3＋５　（定数項の５は次数０で異なる次数のものが含まれているので。）

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F#.E6.96.89.E6.AC.A1.E5.A4.9A.E9.A0.85.E5.BC.8F


　また、微分方程式などで使われる場合は、y、y'、y''、y'''などを同等に扱って、同じ次数（y、y'、y''、y'''などを掛けた回数）だけで表されるものを斉次微分方程式といいます。

　例）○　y''+y'+y＝０　　　　（次数は１）
　　　○　y''y'+y''y+y'y＝０　（次数は２）
　　　×　y''+y'^2+y＝０　　　（１次と２次が混在）
　　　×　y''+y'+y＝５　　　　（０次と１次が混在）
　　　×　y''+y'+y＝ｘ　　　　（０次と１次が混在）

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F#.E5.AE.9A.E6.95.B0.E4.BF.82.E6.95.B0.E3.81.AE.E6.96.89.E6.AC.A1.E5.B8.B8.E5.BE.AE.E5.88.86.E6.96.B9.E7.A8.8B.E5.BC.8F.E3.81.AE.E8.A7.A3.E6.B3.95

　ご存じの通り、「斉次」＝「次数が斉（ひと）しい」　でよろしいと思います（英語では、homogenous）。また、別の言い方としては「同次」ともいいます。

　さて、お尋ねの次数についてですが、例えば、ｘとｙの多項式の場合は、ｘとｙを同じものとして扱って、同じ次数（ｘとｙを掛けた回数）だけで表されるものを「斉次」といいます。

　例）○　x^3+x^2・y+x・y^2+y^3　　　（ｘ、ｙについての３次の斉次多項式）
　　　×　x^3+x^2・y+x・y^2+y^3＋５　（定数項の５は次数０で異なる次数のものが含まれ...続きを読む

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Q同次方程式

なぜ「同次」方程式というのでしょうか？定数項がないことと同次という言葉が結びつきません。英語では「Simultaneous Equation」だそうで、訳すならば「同時」方程式となりそうですが、こちらも意味が全くわかりません。どなたか教えてください。

Aベストアンサー

「同次」とは全ての項の次数が同じという意味です。例えば、
x+y , x^2+xy+y^2 , (x+y+z)^2 , x^3+y^3+z^3+xyz
などです。これらの式を同次式といいます。
同次方程式は、同次式からなる方程式です。

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