
数学用語の意味の違いがいまいちつかめません。
(1)【線形2階微分方程式】
未知数y(x)とその導関数y'(x),y''(x)についての線形の微分方程式
y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
を 2階線形微分方程式という.最も簡単な例として
d^2f(x)/dx^2=0
がある。
(2)【非線形2階微分方程式】
非線形2階微分方程式の定義がテキストには載っていなかったのですが、
y''+p(x)y'+q(x)y ノットイコール f(x)
が非線形2階微分方程式ということでしょうか?
(1)と(2)の違いがどこにあるのか、はっきりせずにモヤモヤしているので、
スッキリさせたいです。どなたか数学に詳しい方がいらっしゃれば、
どうかご教授下さい。よろしくお願いします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
線形微分方程式は、y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
など、微分演算子を、D=Dxx+p(x)Dx+q(x)のように
ひとつにまとめて、
Dy=f(x)
のように書けるものです。
ここに、Dxxはxで2回微分、Dxはxで1回微分することを意味する。
関数全体の空間をベクトル空間と見て、
Dは関数空間の間の線形写像になっているから線形微分方程式
といいます。
一方、y''y+y'=f(x)のようなものは、Dy=f(x)の形に書けないので、
線形微分方程式とは言いません。
要するに、y,y',y'',…の線形結合=f(x)のタイプが線形微分方程式
で、そうでないものが、非線形微分方程式です。
No.2
- 回答日時:
簡単に言います。
y、y’、y’’同士の掛け算がなければ線形、あれば非線形です。
(非線形の例)
y^2、yy'、y'^2、y'y''、yy''、y''^2、y^3、yy'y'' など
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