１日目は１円、２日目は２円・・・の式

こんにちは。数学にはトンチンカンな男です。先日バイトの友人が毎日倍々のお金をもらうと１ヶ月後にいくらになるか？という問題を出してきました。１日目は１円もらい２日目に２円、３日目に４円という具合です。公式があるそうなんですがさっぱり検討がつきません。ご存じの方いましたら教えて下さい。

No.1 回答者： TK0318 回答日時： 2003/01/06 12:40

数列

１，２，４，８・・・２＾（n-１）
なので（初項１、公比２なので）

Σ２＾（n-1)＝２＾n-１

よって一月後は２＾３１－１＝２１４７４８３６４７円

No.2 回答者： 389 回答日時： 2003/01/06 12:43

単純に31ｘ2＝62円じゃだめなのかなぁ・・。

自分も数学苦手なので自信なし。

No.3 回答者： Shin_K 回答日時： 2003/01/06 12:44

１０日後に１０００円を超えますね．（１０２４）

２０日後に１００００００円を越えます．（１０４８５７６）
３０日後に１０００００００００円を超えます．（１０７３７４１８２４）

おもしろい公式のようなものは，ないかと思いますが．．．
その時までの累計は，その日にもらう金額の２倍から１円引いた額になります．
１０日目までの累計：１０２４ｘ２－１＝２０４７円

No.4 回答者： tbrown 回答日時： 2003/01/06 12:51

Ｘ：何日目かのもらえるお金。

　Ｙ：何日目　として、数式で書くと次のようになります。

Ｘ＝２＾（Ｙ－１）

２１日日目に１００万円を超えますね。

３０日目なら　　536870912円です。（５億３６８７万９１２円）
３１日目なら　1073741824円です。（１０億７３７４万１８２４円）

No.5 ベストアンサー 回答者： jetplane 回答日時： 2003/01/06 13:00

１たす２の２乗たす２の３乗・・・となります。

高校生ならばこれは,初項１,公比２の等比数列だとわかります。仮にｎ番目まですべて足すとします。
ここから公式です.初項Ａ,公比Ｒとしますと、
Ａ(1－Ｒのｎ乗）割る１－Ｒです。だから,十日まで足すとすると,ｎが１０になります。それで、Ａが１、Ｒが２です。すると、
１(１－２の１０乗）割る１－２＝（１－１０２４）割る（－１）＝１０２３です。
　だから,足したい日にちをｎに代入して計算すればいいです.ほかに、これではどうでしょう。１＋３＋９＋２７＋・・・なんでいうのは、これも、Ａが１、Ｒが３
ｎはじぶんできめてください。これでできます。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　

No.6 回答者： noname#6266 回答日時： 2003/01/06 13:00

それは、2の30乗で出ると思います。

(1ヵ月を31日とした場合)
1ヶ月を30日にすると2の29乗だと思います。
そうすると、31日の場合￥1073741824、30日の場合￥536870912になります。

No.7 回答者： 389 回答日時： 2003/01/06 13:12

うぅーん・・自分のッテ全然違かったなぁ(笑)

三日後に４円だったのね(爆)

No.8 回答者： 314 回答日時： 2003/01/06 15:51

結論！

No1の方の解法がベスト！
数Aの参考書片手に等比数列の勉強で早ければ５分で理解できます。
結局は公式にほりこむだけなんですけどね＾＾

No.9 回答者： TrickOrTreat 回答日時： 2003/01/07 01:13

公式だけだとなぜそうなるのかがわかりにくいかと思いますので

もう少しわかりやすい方法を説明します。
一ヶ月（３１日）の合計をＳとすると、S は次の式になります。

S = 2^0 + 2^1 + ... + 2^30

ここで、Sをちょうど２倍した 2S を考えると、

2S = 2^1 + 2^2 + ... + 2^31 になります。
2S - S を考えて

2S = (2^1 + 2^2 + ... + 2^31)
S = (2^0 + 2^1 + ... + 2^30 )
-)_____________________________________
S = -2^0 + 2^31

S = 2^31 - 2^0 = 2^31 - 1 になります。
公式も同じように考えて導くことができます。