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A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
(2)は漸近化式が必要ですね。
(2)x=cos^3θ y=sin^3θ, 0≦θ≦2π
準備
y^2=sin^6θ
dx=-3cos^2θsinθdθ
回転体積の公式から
π∫y^2dx
=-3*4π∫[0~π/2]sin^7θcos^2θdθ
ここで,cos^2θ=(1-sin^2θ) を利用すると、
=-3*4π∫[0~π/2]sin^7θdθ+3*4π∫[0~π/2]sin^9θdθ
=-3*4π*(-16/35)+3*4π(-8/9)(16/35)
=3*4π*(16/35)(1-8/9)=3*4π*(1/9)*(16/35)=64π/105
漸近化
∫[0~π/2]sin^nθdθ={(n-1)/n}∫[0~π/2]sin^(n-2)θdθ
だから
∫[0~π/2]sin^7θdθ=(6*4*2/7*5*3)∫[0~π/2]sinθdθ
=(6*4*2/7*5*3)[-cosθ]0~π/2
=(6*4*2/7*5*3)*(-1)=-16/35
∫[0~π/2]sin^9θdθ=8*6*4+2/9*7*5*3∫[0~π/2]sinθdθ
=(8*6*4+2/9*7*5*3)*(-1)=-(8/9)(16/35)
やり方の参考程度まで、 係数などは確認してください。
No.2
- 回答日時:
どんなやり方でもよければθを消去する方法もあるかと思います。
(1)(x/a)^2+(y/b)^2=1
y^2= に変形して積分
(2)x^(2/3)+y^(2/3)=1
y^2={1-x^(2/3)}^3
後は積分範囲に気を付けてxで積分
π∫y^2dx
No.1
- 回答日時:
いずれも 0≦X≦2π でなくて 0≦θ≦2π なのでしょう.
(1)考えている曲線はx軸,y軸いずれについても対称なので,
求める体積をVとして,
V=2π∫_{x=0~a}y^2dx
=2π∫_{x=0~a}y^2dx
=2π∫_{θ=π/2~0}y^2(dx/dθ)dθ
=2π∫_{θ=π/2~0}(bsinθ)^2(-asinθ)dθ
=2πab^2∫_{θ=0~π/2}sin^3θdθ [sin^3θ=(sinθ)^3]
あとは ∫_{θ=0~π/2}sin^3θdθ の部分を (1-cos^2θ)sinθ とやるか,t=cosθ の置換積分.
(2)もほぼ同様に出来そうですが,次数が高くなると
∫_{θ=0~π/2}sin^nθdθ の有名積分(公式?)の利用がいいかも.
漸化式くらいは示してから結果を使う方が良いのでしょうね.
(1)と同様にcos^mθ・sinθ の組合せに分解しても出来そうですが,面倒そう.
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