log(cosθ)の積分

インテグラル【0からπ/4】log（1+tanθ）dθ という積分で、途中省略しますが
、log（1+tanθ）を
log√2+logcos（π/4-θ）-logcosθ
という形まで分解したんです。
log√2に積分記号がついてても簡単に積分できるけれど、後ろの二項
インテグラル【0からπ/4】logcos（π/4-θ）dθ-インテグラル【0からπ/4】logcos
θdθの積分の仕方がわからないのでヒントをください。
（急いで書いたから、誤字あったらすみません）

No.3 ベストアンサー 回答者： Ae610 回答日時： 2009/04/16 19:40

∫[0～π/4]log(1+tanθ)dθ

＝∫[0～π/4]log｛√2*cos(π/4－θ)/cosθ｝dθ

＝log(√2)∫[0～π/4]dθ+∫[0～π/4]log(cosπ/4－θ))dθ－∫[0～π/4]log(cosθ)dθ

第二項目の積分で、π/4－θ＝tとおくと

∫[0～π/4]log(cosπ/4－θ))dθ＝∫[π/4～0]log(cost)(－dt)

＝∫[0～π/4]log(cost)dtとなって第三項目の積分と相殺出来る。

よって

＝log(√2)∫[0～π/4]dθ

＝(π/8)log2

No.4 回答者： info22 回答日時： 2009/04/16 20:03

#1です。

A#1の回答の積分は質問のタイトルにある関数の積分
∫[0,π/4]log(cos(θ))dθ
の積分値です。

∫[0,π/4]log(1+tan(θ))dθの積分は
#2,#3さんのお書きの通りの「(π/8)log(2)」になります。

No.2 回答者： m234023b 回答日時： 2009/04/16 19:32

Mathematicaに計算させると，

1/8*π*log(2)を得ました。

この回答へのお礼

どうもありがとうございました。

お礼日時：2009/04/17 18:27

No.1 回答者： info22 回答日時： 2009/04/16 18:27

他の質問をみて積分の式の書き方をそれに習って書いて下さい。

見づらくて仕方がないです。

質問の積分は解析的に（初等関数の範囲では）求まりませんね。
数値計算では
-0.0864137...
と出てきます。

大学数学レベル以上になりますが、
複素領域での不定積分は、特殊関数（超越関数）のポリログ関数（二重対数関数）polylog(2,X)（ Li2(X)とも表記される）を使えば次のようになります。
(i/2)x^2+x*ln(cos(x))-x*ln(1+exp(2ix))+(i/2)polylog(2,-exp(2ix))
iは虚数単位です。

これに積分の範囲を適用して定積分にすると
積分値は
1/2*Catalan - (π/4)log(2)≒-0.0864137...
となります。
ここで数学定数のCatalan（無理数です）は
Catalan≒0.9159655942 ...
という値です。

初等関数の範囲では積分できないので、質問者さんの方法で幾らがんばってやっても解析的には解けないと思います。