AB=BAならA,Bとも同じユニタリ行列で対角化可能を示せ

Question

Cを複素数体とする。VをC上の有限次元内積空間とする。
A,Bが正規行列(AA^*=A^*A,BB^*=B^*B)ならABも正規行列となる。
下記の問に答えよ。
[問] AB=BAならA,Bとも同じユニタリ行列で対角化可能を示せ。

P^-1AP,Q^-1BQ (P,Qはユニタリ行列)とA,Bは対角化されたとしてこれから
P=Qを示したいのですが頓挫しております。

どうかお助けください。m(_ _)m

gef00675 · Accepted Answer

では、証明の概略を説明しましょう。
いま考えているベクトル空間をＶとし、Ｖの次元をnとします。
Ａの固有値をλ1, λ2,..., λr,  (r≦n)とします。相異なる固有値をすべて列挙したと考えてください。r≦nなのは、固有値が重なっていることがあるためです。
固有値λ1, λ2,..., λrに対応するそれぞれの固有空間をV1, V2, ..., Vrとします。Ａは正規行列なので、空間Ｖは固有空間の直和に分解できます。（これが、Ａが対角化可能ということです）つまり、任意のＶの元ｘはx=v1+v2+...+vr　（vj∈Vj, j=1,..,r)　の形に一意的に表されるということです。（このv1,..,,vnがＡの固有ベクトルに他なりません。）
Ｂについても同様に、固有値をμ1, μ2,..., μs,  (s≦n)とし、固有空間をW1, W2, ..., Wsとすれば、やはりＶをそれらの直和に分解することができます。（ここで、Ａによる分解とＢによる分解は別々の分解ですが、ここから両方に共通の分解を作っていきます）

固有値・固有ベクトルの定義を思い出すと、A v ＝ λv, B w ＝ μw, （u,w≠0)でした。ここで、注意すべきなのは、Aの固有空間はＡによって変わることはなく、Bの固有空間もまたBによって変わらないという事実です。実際、v1∈V1ならば、A v1＝λ1 v1∈V1。このことを、集合の記号を使って、A(V1)⊂V1とかきます。よって、
　A(V1)⊂V1, A(V2)⊂V2,..., A(Vr)⊂Vr, 
　B(W1)⊂W1, B(W2)⊂W2,..., B(Ws)⊂Ws, 
左辺のA(V1),..などは、みな部分空間になっています。このように、空間全体がいくつかの部分空間に完全に分解される点（正規変換の性質）、さらに、変換した先が、別の部分空間に入ってしまうということが決して起らない点（固有空間の性質）が重要です。

ところで、AB=BAという条件から何がいえるかというと、たとえば
v∈V1のとき、A( B v1)＝ B( A v1)＝B(λ1 v1)＝λ1 B v1 よって
A( B v1)＝λ1 B v1で、これは、B v1∈V1であること、いいかえるとB(V1)⊂V1ということです。同様にして、
A(Vj)⊂VjかつB(Vj)⊂Vj (j=1,2,...,r)
A(Wk)⊂WkかつB(Wk)⊂Wk (k=1,2,...,s)
であること、これが、ＡとＢの関係です。

さて、ＡとＢが同じユニタリ行列で対角化されるには、ＡとＢが同じ固有ベクトルを持たねばなりません。これからその共通のベクトルを探すことを考えます。
まず簡単な場合、V1が１次元の場合を考えます。このときは、B(V1)は０次元または１次元です。V1の０でない元v1を一つとります。v1はAの固有ベクトルです。B(V1)が０次元のときは、B v1 = 0だから、v1はＢの固有ベクトルでもあります。B(V1)が１次元のときは、B v1 = x v1の形にしかなりませんから、この場合もＢの固有ベクトルになっています。このように考えると、V1,V2,...,Vnがみな１次元だったら、Ａの固有ベクトルがそのままＢの固有ベクトルになっていることがわかります。したがって、それらの固有ベクトルを集めたものが、ＡとＢを同時に対角化するユニタリ行列になります。

V1が２次元以上の場合は次のようにすればよいでしょう。W1, W2, ...のなかから、
V1∩Wkが０以外の元を含むような空間Wkを探します。そんなものが都合よく見つかるのかって？　V1の元（０以外）を適当にとり、その点をＢで写してから空間W1,W2,...への正射影を想像してください。B(V1)⊂V1だったことを思い出すと、全部の射影が０になることはないですよね。そのときのV1∩Wkの元（０以外）がＡとＢの共通の固有ベクトルになっています。固有ベクトルが一つみつかれば、その方向を取り除いた空間（直交補空間といいます）を考えて、また同じことをすれば、共通の固有ベクトルを順に決めることができるはずです。こうして次々に次元を減らしていけば、所望の固有ベクトルの組を決めることができて、それらを集めてユニタリ行列が作れます。ただし、このときの固有ベクトルは、一般には一通りに決まりません。

長くなってしまいました。最後に一つアドバイス。以上の説明では、対角化可能をいうのに、具体的に固有値や固有ベクトルがどんな式になるかは、まったく出てきませんでした。その代わりに、空間を分解するとか、部分空間といった話が中心でした。いつでも計算だけで答えがだせるとは思わないようにしましょう。

Jyaikosan · Answer

Aの固有ベクトルをx 固有値をλ とします。

Ax=λx

両辺にBを掛けます。

BAx=λBx

AB=BA なので

ABx=λBx

この式から、ベクトルBx はAの固有値λの固有ベクトルであることがわかります。
Bx と x は平行なので

Bx=αx

と書けます。

この式はAの固有ベクトルx がBの固有ベクトルでもあり、αが固有値であることを示しています。

まとめると、AB=BA のときAとBは共通の固有ベクトルを持ちます(固有値は一般に異なります)。
この固有ベクトルを並べて作った同じユニタリ行列でAとBは対角化できます。

gef00675 · Answer

P^-1AP,　Q^-1BQ　とおいてP=Qを示そうとしても、無理です。
例えば、Ａ＝Ｂ＝Ｉ、というすごく簡単な例を考えてみますと、
任意のユニタリ行列で対角化可能（はじめから対角化されているから）
したがって、Ｐ＝Ｑとは限らないことがわかります。

要は、Ａの固有空間と、Ｂの固有空間が、すべての固有値について
一致することを示せばよいのです。

AB=BAならA,Bとも同じユニタリ行列で対角化可能を示せ

では、証明の概略を説明しましょう。

Aの固有ベクトルをx 固有値をλ とします。

P^-1AP, Q^-1BQ とおいてP=Qを示そうとしても、無理です。

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