遮断周波数のゲインがなぜ-3dBとなるのか？

私が知っている遮断周波数の知識は・・・
遮断周波数とはシステム応答の限界であり、それを超えると減衰する。
＜遮断周波数の定義＞
出力電力が入力電力の1/2となる周波数を指す。
電力は電圧の２乗に比例するので
Vout / Vin = 1 / √2
となるので
ゲインG=20log( 1 / √2 )=-3dB
となる。

ここで、なぜ出力電力が入力電力の1/2(Vout / Vin = 1 / √2)
となるのでしょうか？
定義として見るにしてもなぜこう定義するのか
ご存じの方いらっしゃいましたら教えて下さい。

No.3 ベストアンサー 回答者： hs001120 回答日時： 2008/11/26 06:36

>ここで、なぜ出力電力が入力電力の1/2(Vout / Vin = 1 / √2)

>となるのでしょうか？
>定義として見るにしてもなぜこう定義するのか

端的に言えば、
"通過するエネルギー"<"遮断されるエネルギー"
"通過するエネルギー">"遮断されるエネルギー"
が、変わる境目だからです。

>遮断周波数とはシステム応答の限界であり、それを超えると減衰する。
これは、少々誤解を招く表現です。
減衰自体は"遮断周波数"に至る前から始まります。(-3dBに至る前に、-2dBとか、-1dBになる周波数があります)

この回答へのお礼

なるほど、そういう観点から見れば納得できますね。
ありがとうございました。

お礼日時：2008/11/28 00:18

No.4 回答者： info22 回答日時： 2008/11/26 20:44

RCローパスフィルター型の回路の周波数伝達関数G(jw)は

G(iw)=Vout/Vin=1/(1+iwRC)=1/{1+j(f/fc)},遮断周波数fc=1/RC
|G(jw)|=1/√{1+(f/fc)^2}=1/√2のとき
f/fc=1　→ f=fc(遮断周波数)となります。
この時
20log|G(jw)}=20log(1/√2)=-10log(2)=-10*0.3010=-3.010[dB]
となります。

No.2 回答者： A_Einstein 回答日時： 2008/11/26 00:52

ごめんなさい。

ｆ＝２πω

ではなく、
ｆ＝ω／２π
です。

No.1 回答者： A_Einstein 回答日時： 2008/11/26 00:51

まあ、どこかで定義しないといけませんから何か定義が必要なわけで、そこでそのように定義したわけです。

遮断周波数を－３ｄＢにするというのは実は色んな意味で都合がよいということもあります。電力に関して言うと、過半数が浪費する、つまり通過できないポイントということで意味があります。

ちなみに電圧だけの世界で見てもおもしろい話になります。
たとえば、ＣＲ（コンデンサと抵抗）のフィルタ回路を考えます。時定数τはご存じのように、τ＝ＣＲです。角周波数ωはその逆数でω＝１／（ＣＲ）です。この角周波数は実は－３ｄＢ（ただし電圧領域）における遮断周波数ｆとはｆ＝２πωの関係にあります。

更に話を進めるとラプラス変換のような複素表示にしていくとそのような定義にすると実にすっきり話が進められることがわかります。
（複素表示で実部と虚部が等しい場合に－３ｄＢとなる）