tan の近似法について

タンジェントの計算を使用としているのですが，うまく計算できません．

f(x)=arctan((a/b)*tan(x))-x ・・・(1)
a,b:定数でa/b≒1， -π/2＜x＜π/2　

の計算なのですが，数値計算だとあくまでグラフにしたときの見た目ですが

f(x)=k(a-b)*sin(2*x) 　・・・(2)
k:定数

のようになります．
フーリエ級数等を用いて"近似の計算"をして式(2)のように2倍周期の関数にしたいのですが，うまく計算ができません．

どなたか計算できませんか？

実際には計算で使用しているa,bはa>bでa/bは1.01位です．

No.1 ベストアンサー 回答者： boobee0125 回答日時： 2008/11/29 21:05

エクセルのソルバー機能を使って実験式を作ってみました。

f(x) = r*(0.5-0.234*r)*sin(2*x) ・・・(3)

ここに 　　　 r = a/b - 1　　 ・・・(4)

これで r = 0.01 での平均誤差は 10^(-10) 以下、また 0≦ r ≦ 0.1 の範囲での平均誤差は 10^(-6) 以下になります。大きな r の領域での精度も必要な場合は sin(4*x) の項を加える必要があります。

No.2 回答者： noname#101087 回答日時： 2008/11/30 16:08

>f(x)=arctan((a/b)*tan(x))-x ・・・(1)

>a,b:定数でa/b≒1， -π/2＜x＜π/2　
> ........
>f(x)=k(a-b)*sin(2*x) 　・・・(2)　k:定数


　　G(x,y) = arctan(y*tan(x))
としましょう。
　　G(x,1) = x
　　Gy(x,1) = tan(x)/(1+tan^2(x)) = sin(x)*cos(x) = sin(2x)/2　　(Gy は G を y で偏微分したもの)
なので、式(2) は a/b = 1 近傍における f(x) の一次近似ですね。(k = 1/(2b) かな？)