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数学の近似式
x<<1のとき、(1+x)**a≒1+ax について教えてください!

1/(1+x)**2を近似するときは次のうちどちらが正しいのでしょうか?

①1/(1+x)**2≒1/1+2x(分母をそのまま近似)
②1/(1+x)**2=(1+2x)**-2≒1-2x(変形してから近似)

②が正しいと聞いた記憶があるのですが、理解できなくなってしまいました。

詳しい方、ぜひ、教えてください!

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A 回答 (2件)

②が正しいというのはどこで聞かれましたか。


近似式が正しいかどうかの判断は近似式を使って求めた値が元の式をそのまま使って得られた値にどれだけ近いかで行うことができます。・・・やってみればわかりますが①の方が精度がいいです。
したがって心配になるのであれば
⓪ 1/(1+x)^2
① 1/(1+2x)
② 1-2x
の3つで値を調べてみればいいです。
x<<1という条件で求めるのですがこの条件の程度によって値が変わってきます。
(1)x=0.1
⓪0.826
①0.833
②0.800
(2)x=0.01
⓪0.98029
①0.98039
②0.98000

②の方がずれが大きいです。②は①にさらに近似操作を行っているのですからずれが大きくなるのは予想されることです。
もともとのx<<1という条件の程度にしたがって考えてみます。
x^2を無視して計算するのですからx=0.1であれば0.01のところは問題にしないという立場のはずだったのです。0.8までのところでは3つとも一致しているのですから違いはありません。しかし、⓪、①の間であれば0.83まで一致しています。x^2を無視してもx^2程度の違いしかないということを考えればずれても0.01だと言うもできるのです。同じことはx=0.01の場合にも成り立っています。0.980まではどれも同じ値になります。x^2の値が0.0001ですからずれはこの桁から始まります。②の方がずれが大きいです。

>1/(1+x)**2を近似するときは次のうちどちらが正しいのでしょうか?
「正しい」とか「正しくない」という問題ではありません。近似の精度の問題です。
近似をなぜするのかのかということで言えば②の方が近似がよくてもあまり意味がありません。面倒な分数計算をしなければいけないというのを避けるということも近似式を使う目的の一つだからです。また自然現象において出てくる「条件が変わったときに現れる一次の補正項の表現が知りたい」という場面ではとにかく1+αxという表現の中のαを問題にしています。②の1-2xという式をx<<1という条件で使うということになります。その場合、xとx^2の間の桁までが信頼できる区間です。x=0.01であればx^2=0.0001ですから0.001まではいけるだろうといえるのです。
D1=1/(1+2x)-1/(1+2x+x^2)
D2=(1-2x)-1/(1+2x+x^2)
を計算しても違いはわかります。
D2~ー3D1
というのもわかります。
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(1+x)**a≒1+ax は f(x)=(1+x)^a (べき乗はここでは^aで書きます。

質問者の**aと同じ意味です。)を級数展開(テーラー展開)して最初の2項を取ったものです。

f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+f'''(0)x^3/3!+ .....+f(n)(0)x^n/n!+O(x^(n+1)+...

   [ f(n)(0)はf(x)をn回微分してx=0としたものです。]


1/(1+x)**2を近似するときは次のうちどちらが正しいのでしょうか?

①1/(1+x)**2≒1/1+2x(分母をそのまま近似)
②1/(1+x)**2=(1+2x)**-2≒1-2x(変形してから近似)

結論はどちらも正しい

1/(1+2x)≒1-2x

です。

要するに

x=0.001とすると

1/(1+2x)=1/1.002≒0.998
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