No.8ベストアンサー
- 回答日時:
スマートな方法は、次の段階の方法として、先ずはorthodoxな方法で解けるようになるように心がけよう。
極値を与えるxの値が存在しなければならないから、f´(x)=x^2 + 2ax +b=0が、異なる2つの実数解を持たなければならない。
従って、判別式>0より a^2-b >0‥‥(1)
それら2つの解をα、βとすると(α>β)解と係数の関係から、α+β=-2a、αβ=b。‥‥(2)
と、ここまでは良いだろう。
問題は、
>極値をもつとき、その差を求めよ。
その差とは、極大値-極小値、or、極小値-極大値のどちらの意味なのかはわからない。
従って、その点に注意して答えを出さねばならない。
取りあえず、(2)を使って計算すると、f(α)-f(β)=(α-β)√(a^2-b)((1)に注意)。
(α>β)^2=(α+β)^2-4αβ=4(a^2-b)であるから、α>βより、α-β=2√(a^2-b)。
よつて、f(α)-f(β)=4*(a^2-b)*√(a^2-b)。と一応答えは出る。
しかし、これはあくまで f(α)-f(β)の値に過ぎない。
だから、f(β)-f(α)の場合は、f(β)-f(α)=-4*(a^2-b)*√(a^2-b)。
以上から、答えは ±4*(a^2-b)*√(a^2-b)。
No.6
- 回答日時:
>・・・~が極値をもつときという条件ってなんでしょう・・・
問題文に「f(x) が極値を持つとき」と書いてありますよね。
ということは、極値を持たないこともあるということです。
a, b, c がどんな時に極値があって、どんな時にないのでしょう?
そして、それは解答にどんな影響を与えるでしょうか?
はい補足にどうぞ。
この回答への補足
f’(x)=0の時に極値をもつ。
で、私、やり方変えて、3(x^2 + 2ax +b )=0
の2解をα、βとおいて、αとβの条件を求めてみました(・ω・`=)
α+β=-2a , αβ=b
No.5
- 回答日時:
f'(x) は2次式ですから、
f(x) = g(x)f'(x) + Ax + B (g(x)は1次式)
の形に書けます。つまり、f(x)をf'(x)で割って、余りの Ax+B を求めましょう。
そうすれば、極値でのxの値は f'(x)=0 の解なので、α、βとおけば、
f(α) = Aα+B
βも同様なので、極値の差は A(α-β) となりますから、形を見れば答えがあっているかどうかおわかりと思います。
No.1
- 回答日時:
その答えを出した過程を補足にどうぞ。
ついでに「~が極値をもつとき」という条件がどうなったのかも補足に。
この回答への補足
f'(x)=3x^2 + 6ax + 3b
=3(x+a-√(a^2 - b))(x+a+√(a^2 - b))
f(-a+√(a^2 - b))=(-a+√(a^2 - b))^3 + 3a(-a+√(a^2 - b))^2 + 3b(-a+√(a^2 - b))+C
=8a^3 - 9ab - 2a^2√(a^2 - b) + 2b√(a^2 - b) + C
f(-a-√(a^2 - b))=(-a-√(a^2 - b))^3 + 3a(-a-√(a^2 - b))^2 + 3b(-a-√(a^2 - b))+C
=2a^3 - 3ab + 2a^2√(a^2 - b) - 2b√(a^2 - b) + C
|f(-a+√(a^2 - b)) - f(-a-√(a^2 - b))|=|6a^3 - 6ab - 4a^2√(a^2 - b) - 4b√(a^2 - b)|
となりました。
・・・~が極値をもつときという条件ってなんでしょう・・・
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