一般化正規分布の正規化定数について

単峰性で対称な分布をモデル化するために、
一般化正規分布（generalized Gaussian）分布を
使おうと考えています。

一般化正規分布の確率密度関数は、
f(x ; μ, σ, c) = A exp( -γ^c |x - μ|^c )
γ = 1/σ √Γ(3/c)/Γ(1/c)
A = cγ / 2 Γ(1/c)
という関数形を持っています。
ここで、Γ(・) はガンマ関数です。

上記の確率密度関数の正規化定数 A を導くには、
確率密度関数を [-∞, +∞] の範囲で積分して、
結果が 1 になるような A を計算すれば良いのだと思います。

正規化定数 A を自力でも導きたく考えているのですが、
僕には一般化正規分布の確率密度関数を
どのように積分すれば良いのかが分からず、困っております。

そこで、下記のことを教えていただきたく存じます。

質問）
一般化正規分布の確率密度関数は、
どのようにしたら積分できるのでしょうか？
式展開と、必要な理論的バックグラウンドを
教えて頂きたく思います。

どうぞよろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： quaestio 回答日時： 2009/01/26 22:12

> 正規化定数 A を自力でも導きたく考えているのですが、

とのことなので、ヒントだけにしておきます。

１．γ(x-μ)を別の変数に置き換えてみてください。
２．絶対値記号をはずしましょう。
３．exp(…)となる部分をexp(-z)と変換してみましょう。
４．何処かで見たことがある関数が出てきてるので、それをうまく利用しましょう。
５．これでAが求まるはずです。

途中でわからなくなったら、補足してください。

この回答へのお礼

quaestio さま

ご回答ありがとうございます！

> １．γ(x-μ)を別の変数に置き換えてみてください。
> ２．絶対値記号をはずしましょう。
> ３．exp(…)となる部分をexp(-z)と変換してみましょう。
> ４．何処かで見たことがある関数が出てきてるので、それをうまく利用しましょう。
> ５．これでAが求まるはずです。

この手順通りで、見事 A が求まりました。
４．の手順で、ガンマ関数が見えたときに、感動した次第です。

どうもありがとうございました！

お礼日時：2009/01/27 16:53