No.2ベストアンサー
- 回答日時:
> なので定義は定まっていないのですが・・。
それを「好きな流儀の定義を採用してよい」と解釈するのは、
流石に純真過ぎる気がしますね。常識的に考えて、
「講義で採用した定義に沿って考えよ」という意味でしょう。
何にせよ、好きに定義してよいのなら…
1.
rank M の定義を、線形写像 x → Mx の像 Span M の次元とする。
正則な線形写像の、定義域と像の次元は等しい。
なぜなら、定義域の基底 { e_k | k∈Λ } に対して、{ M e_k | k∈Λ }
が像の基底となるから。これを使って…
C の正則性より、rank AB = rank CAB.
B^-1 の正則性より、rank AB = rank A.
2.
線形空間の次元の定義を、一組の基底に属するベクトルの個数とする。
その個数は、基底の取り方に依存しないことが知られている。
よって、「定義により自明」。
講義で示された 基底,次元,rank の定義を補足に書けば、
それなりの回答もありえるでしょう。
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