加速度 a=dv/dt = (d^2 x) /dt^2

加速度 a=dv/dt = (d^2 x) /(dt^2)
という公式があったのですが、(d^2 x) /(dt^2)はどうやって出せばよいのでしょうか？
dv/dt のvに
v=dx/dt
を代入すると
a=(d^2 x) /(d^2 t^2)
になってしまいます。
計算がまちがっているのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2009/02/14 09:51

微分でわからなくなったら差にして考えてみてください。

速度vというのは、Δtを十分に小さい量として

v(t)　=　[ x(t+Δt)-x(t) ]/[ (t+Δt)-t ] =　Δx(t)/Δt

ですね。同じようにして加速度a(t)は

a(t)　=　[ v(t+Δt)-v(t) ]/[ (t+Δt)-t ] =　Δv(t)/Δt

ですが、v(t)に上の結果を使うと

a(t) = Δv(t)/Δt = Δ[Δx(t)/Δt]/Δt = Δ[Δx(t)]/(Δt)^2

です。

微分というのはΔt→0の極限を取ったときにΔをdと書くという
約束になっているというだけのことなので、

a=dv/dt = (d^2 x) /(dt^2)

は間違いで、本当は

a=dv/dt = (d^2 x) /(dt)^2

という意味です。

また、

a=(d^2 x) /(d^2 t^2)

も間違いです。こう書いてしまうと分母はΔ(Δt^2)という意味になってしまいます。

この回答へのお礼

わかりました！
ありがとうございます。

お礼日時：2009/02/18 02:42

No.2 回答者： sanori 回答日時： 2009/02/14 01:07

こんばんは。

＞＞＞
加速度 a=dv/dt = (d^2 x) /(dt^2)
という公式があったのですが

違います。

ここだと、分数の形に書きにくいですが、
書くとすれば、
ｄ^2 ｘ／ｄｔ^2
（　（ｄ^2／ｄｔ^2）ｘ　とも書く）
です。
こちらの中の「単振動の方程式」も見てください。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E6%8C%AF% …

ｄ^2　ｘ／ｄｔ^2　は、ｘをｔで２回微分するという意味です。
高校数学の教科書に載っています。


＞＞＞
dv/dt のvに　v=dx/dt　を代入すると
a=(d^2 x) /(d^2 t^2)　になってしまいます。

そうはなりません。
代入すれば、
ｄｖ／ｄｔ　＝　ｄ（ｄｘ／ｄｔ）／ｄｔ
　＝　ｄ^2 ｘ／ｄｔ^2
　＝　ｘをｔで２回微分したもの

です。


以上、ご参考になりましたら幸いです。

この回答へのお礼

ｄ^2　ｘ／ｄｔ^2　は、ｘをｔで２回微分するという意味だったのですね
ありがとうございます！

お礼日時：2009/02/18 02:43

No.1 回答者： e_o_m 回答日時： 2009/02/14 00:49

微分を何か文字の形式的な操作だと勘違いしていませんか？

dv/dt は「vをtで一回微分する」という意味です
同じく
dx/dt は「xをtで一回微分する」という意味です
ですのでa=dv/dtの中にv=を代入するということは
vをtで一回微分⇔(xをtで一回微分したもの)をtで一回微分する⇔xをtで2回微分する⇔(d^2/dt^2)x
となりますね。