
A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
#1です。
資料を探してて・・・手元にないようです。
#2さんの指摘の通りですね。
>>σ<real(s)である任意の複素数sについて
通常は複素変数で考えるのでこのような表現になっていますが,理解しにくいので画像での計算は厳密な表現を避け「実数」を用いた表現を使っているようです。
著者によっては斜体や太文字を複素数、普通の字体を実数(複素数の絶対値としているかもしれません。(sが複素数ならsに絶対値の記号なりがなければ・・・)
ポイントは2番目の[ ](t=0→∞)で次の第1項{exp-(s-a)t}(t→∞)がexp(-∞)と書き換えてあるところです。
そうでないと発散してしまいますね。これが0になるということで積分に意味が出てきます。複素数でのこの収束性を証明するために結構な行数が割かれていたと思い、資料を探したのですが・・・
単に (a-s)tとすると(a-s)<0が明示できないので
{exp(a-s)t}(t→∞)=0
がすぐにわからない。
だから (s-a)を使い(s-a)>0から「符号が-であることを明示しておいて」、
t→∞のとき
-(s-a)t→-(+)×(+∞)=-∞
↑ ↑ここの表現を工夫しようとしただけ
と表そうとしただけだと思います。
それを先に積分の式の段階で織り込んだのでしょう。
どちらを用いても結果は同じです。指数部が-∞になることを「判断する仕方」が違ってくるだけです。
この回答への補足
みなさんご回答ありがとうございます。
残念ながら難しすぎて理解できません。
(またここで挫折してしまうのか・・・)
"急ぎ"としましたが、少々お時間を。
No.3
- 回答日時:
> eの指数部である -(s-a)t は必ずマイナスになるのでしょうか?
ラプラス変換の定義からstの係数はマイナスです。
これはラプラス変換が存在する条件としての積分の収束性と関係します。
∫[0→∞]f(t)e^(-st)ds、におけるsは
s=σ+jω(σはσ>0の小さな実数,-∞<ω<∞)
です。
ラプラス変換では積分範囲でも分かるように定義域は 0≦t<∞
であり、t→∞で|e^(-st)|=e^(-σt)→0となります。
|e^(-(s-a)t)|=e^(-(σ-a)t→0(ただし、収束条件はσ>a )
もし、stの前の符号がプラスだと
t→∞で|e^(st)|=e^(σt)→∞
|e^(s-a)t|=e^((σ-a)t)→∞(σ>a )
となり発散しラプラス変換が存在しなくなります。
参考URL
http://www.teu.ac.jp/ohshe/e-learning/offline/of …
http://okawa-denshi.jp/techdoc/2-1-3Rapurasuteig …
No.2
- 回答日時:
x(t)のラプラス変換というものはある実数σが存在して
σ<real(s)である任意の複素数sについて
∫[t:0→∞]x(t)exp(-st)dt
が存在すればそれをx(t)のラプラス変換とするというものです。
したがって
e^(at)もあなたが出してきた関数(e^a)tもラプラス変換可能です。
あなたが問題にしている関数e^at=(e^a)t≠e^(at)はつまらないので
e^(at)についていうと
σとしてaを選択できるのでe^(at)はラプラス変換可能です。
σが存在しなければラプラス変換不可能です。
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