直線と双曲線・・。

直線y=mx+nと双曲線x^2-y^2=1は共有点を持たず、このとき点（m.n）が存在する範囲を図示したいのですが・・・。

図を書いてみても、双曲線しかかけず、直線y=mx+nのほうがさっぱりでてきませんん。どうすればいいのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： mmky 回答日時： 2003/02/18 10:18

参考程度に

直線y=mx+nと双曲線x^2-y^2=1は共有点を持たず、
このとき点（m.n）が存在する範囲を図示したいのですが・・・。

直線y=mx+nと双曲線x^2-y^2=1が共有点を持つ境界は接線ですから
接線の条件が出れば、共有点を持たない条件は出ますね。

双曲線x^2-y^2=1 , 1≦|x|
双曲線の接線の式は、Y-y=f'(x)(X-x)
2x-2yy'=0, y'=x1/y1 :双曲線上の接点をx1,y1 としておきます。
Y-y1=(x1/y1)(X-x1) 整理するとY*y1-(y1)＾2=X*x1-(x1)＾2
(x1)＾2-(y1)＾2=X*x1-Y*y1
(x1)＾2-(y1)＾2=1 :{双曲線上の点だから｝
接線の方程式は、(x=x1, y=y1 :(x,y) は双曲線上の点)
{ X*x1-Y*y1=1 }, Y=(x1/y1)x-(1/y1)
だから、接しない条件は、Y=(x1/y1)X-(1/y1)<mX+n
y=√(x^2-1) , 1≦|x|
Y={x/√(x^2-1)}X-{1/√(x^2-1)}<mX+n

0≦|x|＜1　では虚数なので省略。
というように考えることができますね。

No.5 回答者： Mell-Lily 回答日時： 2003/02/18 14:10

方程式

　x^2-y^2=1
は、P(1,0)とQ(-1,0)を通り、直線y=xと直線y=-xを漸近線とする双曲線Hを表します。双曲線Hと方程式
　y=mx+n
が表す直線Lが交点を持たないための条件は、直線Lが双曲線Hの二つの部分曲線の間の空間を通ることです。すなわち、(0,n)を通る直線が、双曲線Hのx>0の部分曲線と接するときの傾きより小さい傾きを持つか、x<0の部分曲線と接するときの傾きより大きい傾きを持てばいいことになります。

No.4 回答者： springside 回答日時： 2003/02/18 12:17

＃１のblue789さんと同じ発想ですが。

「共有点を持たない」というのはどういうことでしょうか。言い換えれば、「共有点を持たない」というのを別の表現で言い換えると（翻訳すると）どうなるでしょうか。

複数の直線、曲線の共有点はどのように算出するかを考えると、「それらの式を連立して、連立方程式を解く」ということです。
↓
つまり、「共有点を持たない」ということは、「その連立方程式が実数解を持たない」と言い換えられます。
↓
それでは、「連立方程式　y=mx+n、x^2-y^2=1」が実数解を持たないということはどういうことでしょうか。
↓
それは、y=mx+nをx^2-y^2=1に代入して得られるxの２次方程式の「判別式＜０」ということではないでしょうか。
↓
判別式＜０という式は、mとnの関係式になりますから、その関係式が表す図形が(m,n)の範囲になるのでは。

というふうに考えていくと答えが出ると思います。

No.3 回答者： neue_reich 回答日時： 2003/02/18 10:46

とりあえず、直線の具体的な係数（mとnの値の範囲）を出してから考えてみましょう。

その際には、双曲線の接線を図に書き込んでみると参考になると思います。

とりあえず、簡単ですが（仕事中なので）ヒントに…なればよいのですが……

No.1 回答者： blue789 回答日時： 2003/02/18 06:54

代数的に解いたらいいと思います。

（１）式を（２）式に代入するとｘの二次式になるので,ｘの存在条件（判別式が正）で求めたらいいと思います。