微分幾何学の定評ある教科書を教えていただけないでしょうか?
入門書がよいです。
私は素人ですが、微分幾何を独習したいです。
物理学科出身なので教養程度の数学の知識はあります。
よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

微分幾何の入門書は


「小林・野水」
と呼ばれる書籍が定番でしょう.
書名は
「Foundations of Differential Geometry」
(出版はWiley)
結構値段の高い本ですが,世界的に評価の高い定番本で,
数学の図書室には複数冊あるんじゃないでしょうか
内容は結構現代的で下の「野水本」とかぶっています.
日本でも入手可能だと思われます.

日本語の文献だと,
やはり「裳華房の小林先生の本」で通じる
裳華房の
「曲線と曲面の微分幾何」(小林昭七)
とか,同じく裳華房の「野水本」
「現代微分幾何入門」(野水克己)
でしょうか.野水本はちょうど2009年3月に復刊されてます.
「曲線と曲面の微分幾何」の方がかなり入門的です.
「現代微分幾何入門」の方は
「ファイバーバンドル」とか「接続」とか
まさに「現代」的なものが主題です.
物理系で使うのだったら,リーマン計量は必須でしょうから
両方見てみるのがよいかもしれません.

そのほか,大部でかなり物理的に重いですが,
M. Spivakの
「A Comprehensive Intoduction to Differential Geomtry」
というのもあります(全5巻の白い本).
かなり初歩的なところからスタートしてる分いいのですが
とにかく長くて・・・。
必要なところをつまみ食いするのがよいでしょう.
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この回答へのお礼

さっそくのご回答どうもありがとうございます!
とても参考になりました。

お礼日時:2009/03/11 07:17

岩波書店数学が育っていく物語第6週「曲面」志賀浩二著。


朝倉書店「ベクトル解析30講」志賀浩二著。
岩波書店「ベクトル解析入門」戸田盛和著。
岩波書店現代数学への入門シリーズのなかの、「幾何入門1」「幾何入門2」「曲面の幾何」「双曲幾何」「電磁場とベクトル解析」「解析力学と微分形式」など。
「微分幾何学」の名前がでてきませんが、「リーマン幾何学」というタイトルの本も微分幾何学をあつかっています。
森北出版「リーマン幾何学」矢野健太郎著。
ベレ出版「数学が解き明かした物理の法則」大上雅史、和田純夫著。
岩波書店「自然科学者のための数学概論」寺沢寛一著。p.32からp.66が微分幾何です。
もともとは、微分幾何学をはじめたガウスを数学者とみるのか、天文学者、物理学者とみるのか、微妙な問題です。出発点は、観測、測量です。
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この回答へのお礼

どうもありがとうございました。
とても参考になりました。

お礼日時:2009/03/11 07:18

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Q微分幾何学の定評ある教科書

微分幾何学の定評ある教科書を教えていただけないでしょうか?
入門書がよいです。
私は素人ですが、微分幾何を独習したいです。
物理学科出身なので教養程度の数学の知識はあります。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

微分幾何の入門書は
「小林・野水」
と呼ばれる書籍が定番でしょう.
書名は
「Foundations of Differential Geometry」
(出版はWiley)
結構値段の高い本ですが,世界的に評価の高い定番本で,
数学の図書室には複数冊あるんじゃないでしょうか
内容は結構現代的で下の「野水本」とかぶっています.
日本でも入手可能だと思われます.

日本語の文献だと,
やはり「裳華房の小林先生の本」で通じる
裳華房の
「曲線と曲面の微分幾何」(小林昭七)
とか,同じく裳華房の「野水本」
「現代微分幾何入門」(野水克己)
でしょうか.野水本はちょうど2009年3月に復刊されてます.
「曲線と曲面の微分幾何」の方がかなり入門的です.
「現代微分幾何入門」の方は
「ファイバーバンドル」とか「接続」とか
まさに「現代」的なものが主題です.
物理系で使うのだったら,リーマン計量は必須でしょうから
両方見てみるのがよいかもしれません.

そのほか,大部でかなり物理的に重いですが,
M. Spivakの
「A Comprehensive Intoduction to Differential Geomtry」
というのもあります(全5巻の白い本).
かなり初歩的なところからスタートしてる分いいのですが
とにかく長くて・・・。
必要なところをつまみ食いするのがよいでしょう.

微分幾何の入門書は
「小林・野水」
と呼ばれる書籍が定番でしょう.
書名は
「Foundations of Differential Geometry」
(出版はWiley)
結構値段の高い本ですが,世界的に評価の高い定番本で,
数学の図書室には複数冊あるんじゃないでしょうか
内容は結構現代的で下の「野水本」とかぶっています.
日本でも入手可能だと思われます.

日本語の文献だと,
やはり「裳華房の小林先生の本」で通じる
裳華房の
「曲線と曲面の微分幾何」(小林昭七)
とか,同じく裳華房の「野水本」
「現代微分幾...続きを読む

Qユークリッド幾何学(初等幾何学)

初等幾何学では2点間の長さとはどのように定義していますか?参考URLなどでも教えてください.
単に距離関数として定義しても一意でないので不十分だし座標は使わないのが趣旨だと思います.

私は初等幾何学を次の方針で組み立てるのがいいと考えました.

1. 点・直線は無定義語
2. 長さは次のようなやり方で定義する
 1. 線分の平行移動・回転移動を無定義概念
 2. 線分の2等分を定義
3. 極限操作にの導入(n→∞ の導入)
4. 2点の間に基準となる直線が何個入るか
この過程を経て距離や長さを定義したいと思いますが
もっといい理解の仕方があれば教えてください.

Aベストアンサー

原論で長さをどのように定義しているか知りませんが、おっしゃるとおりのやり方で長さを定義できます。
ただし、実数論つまりコーシー列の収束を使います。
簡単にいいますと直線l上に基準となる線分OPをとる。
直線lには向き、つまり順序が定義できる。
点Pを1に対応させる。
すると整数に対応する点をl上に取れる。
2^m等分が可能なのでM/2^mに対応する点をとれる。
こうしてとった2点X=M/2^m,Y=N/2^nの長さはM/2^m-N/2^nとする。
l上の任意の点Aにたいして、X_n<A<Y_nとなるような点X_n,Y_nをすでに2^m当分点から取れる。
任意の実数eに対し、X_nY_n<eとでき、(アルキメデスの公理)実数論を使いX_n,Y_nはともに同一の極限値xに収束することが示せる。 OA=xとおきながさOAが定まる。
こうしてl上に距離が定義でき、線分の合同公理を用いて、平面上の距離に拡張できる。 

大体上のような感じです。
ユークリッドの時代に実数論がないのですが、有理数の極限としての実数を厳密でなく使っていたと思います。
なお平行、合同というのは無定義概念ですが、移動(平行移動、回転移動)という概念はユークリッド幾何では用いていないと思います。(合同公理は長さを定義するのに必要ですが、)こういったものを定義するには座標が必要になると思います。

上で簡単に言ったことは砂田利一'幾何入門’に詳しく書いてありますので参考にしてください。

原論で長さをどのように定義しているか知りませんが、おっしゃるとおりのやり方で長さを定義できます。
ただし、実数論つまりコーシー列の収束を使います。
簡単にいいますと直線l上に基準となる線分OPをとる。
直線lには向き、つまり順序が定義できる。
点Pを1に対応させる。
すると整数に対応する点をl上に取れる。
2^m等分が可能なのでM/2^mに対応する点をとれる。
こうしてとった2点X=M/2^m,Y=N/2^nの長さはM/2^m-N/2^nとする。
l上の任意の点Aにたいして、X_n<A<Y_nとなるような点X_n,Y_nをすでに2...続きを読む

Qペレルマンが解いた微分幾何学のソウル予想って?

ペレルマンが解いた微分幾何学のソウル予想ってなんですか?

日本語で検索しましたが分かりません。

英語のサイトでもいいので、簡単に教えていただけないでしょうか?

Aベストアンサー

>日本語で検索しましたが分かりません。
>英語のサイトでもいいので

日本語だと検索にヒットしないので、
Cheeger-Gromoll Soul theorem

Cheeger-Gromoll Soul conjecture
で検索してみて下さい。

前者だとペレルマンが解いて定理(theorem)になったあとのページが、後者だとペレルマンが解く前の予想(conjecture)についてのページがヒットします。

Q代数学、幾何学、解析学から更に細分類化すると?

数学の分野の分類は
第一段階として
代数学、幾何学、解析学の3つ大別されると思いますが
第二段階としてこれらから
夫々どのように大別されるのでしょうか?

Aベストアンサー

何を持って「第一段階」なのか・・・・
代数でも,幾何でも,。解析でもないもの
数学基礎論なんてのもあります.

ちなみに日本数学会の分科会は
以下のように構成されています.

(1)数学基礎論および歴史
(2)代数学
(3)幾何学
(4)函数論
(5)函数方程式論
(6)実函数論
(7)函数解析学
(8)統計数学
(9)応用数学
(10)トポロジー

これからみると「解析」がやたらと
細分されているようにも,実際(4)から(8)は,
普通の人からみれば「解析」に見える感じですが,
(4)から(6)はかなり幾何というかトポロジー的な知識も必要ですし,
個人的には,(4)は幾何だと思ってます.
そうそう単純に分類できるものではありません.

日本の数学の「お家芸」とでもいえるものに
代数幾何とか代数解析なんてのが
ありますが,これらは本当に「何でもあり」です.

Q微分形式,微分幾何学の参考書

現在、大学の「幾何学基礎」という授業の中で、微分形式のことをやっています。具体的には、微分積分学の基本定理から、グリーンの定理(ストークスの定理)などの説明を行い、引き戻しの計算などを行っています(幾何学的に)。しかし、先生がどんどん授業を進めていき、なおかつあまり詳しい説明もしないので、正直よく分からなくなっています。
もう少しで、テストなので余計にあせっており、しかも何をやったらよいのかよく分かりません。

そこで、自習用のテキストを購入したいのですが、何かお勧めの参考書はありませんか?(微分積分や線形代数の基本が分かっていれば、分かるような、なるべく分かりやすいものはありませんか?)
ちなみに、授業では、テキストは使っていないのですが(指定されていない)
「培風館 曲線・曲面と接続の幾何」(小沢 哲也)
「培風館 曲面の数学」(長野 正)
を紹介されました。
また、自分で調べて
「岩波書店 微分形式の幾何学」(森田 茂之)
「裳華房 曲線と曲面の微分幾何」(小林 昭七)
という本もよさそうだと思いました。
皆さんは、これらの本についてどのように思いますか?
(分かりやすさ,内容,練習問題,レベルなどを総合的に見て)
また、これ以外のおすすめの微分形式,微分幾何学の参考書があれば教えてください。(初心者向きで)

テストまで、あまり時間がありません。申し訳ありませんがよろしくお願いいたします。

現在、大学の「幾何学基礎」という授業の中で、微分形式のことをやっています。具体的には、微分積分学の基本定理から、グリーンの定理(ストークスの定理)などの説明を行い、引き戻しの計算などを行っています(幾何学的に)。しかし、先生がどんどん授業を進めていき、なおかつあまり詳しい説明もしないので、正直よく分からなくなっています。
もう少しで、テストなので余計にあせっており、しかも何をやったらよいのかよく分かりません。

そこで、自習用のテキストを購入したいのですが、何かお勧めの参...続きを読む

Aベストアンサー

「Gauss-Bonnetの定理」が目標ということですから、古典的な微分幾何学の参考書を探せばよいですね。繰り返しますが、それには、質問者さんが掲げている参考書で充分です。

補足ですが、ちょっと古い本になりますが「多様体の微分幾何学 (実教理工学全書)丹野修吉 著」もよい本だと思います。学部の4年から大学院初年のレベルです。

Q[問]d/dt:Pn(R)→Pn(R)の固有多項式,固有値,幾何学的重複度,代数的重複度を求めよ

[問]d/dt:Pn(R)→Pn(R)の固有多項式,固有値,幾何学的重複度,代数的重複度を求めよ。
[解]
d/dt(Σ[i=0..n]a(i)x^i)=Σ[i=1..n]a(i)nx^(i-1)となるのでこの線形写像(Dとする)の表現行列は
0,1,0,……,0
0,0,2,0,…,0
::::::
0,0,0,0,0,n
0,0,0,0,0,0
という(n+1)×(n+1)行列になります。
固有多項式はdet(D-λE)(Eは単位行列)と書けるので
λ,1,0,……,0
0,λ,2,0,…,0
::::::
0,0,0,0,λ,n
0,0,0,0,0,λ
の行列式ですがこれからどのようにしてこの行列式を展開できますでしょうか?行列式の定義から
対角成分とそのひと上隣りの対角成分からn+1個の成分の積が各項になりますよね。
ちょっと複雑。。。
どのようにして展開してけばいいのでしょうか?
知恵をお授け下さい。

Aベストアンサー

そうですねえ。。あきらかに計算してませんね

どうして一般の n で分からなかったら,簡単なケース
例えば,n=0,1,2,3くらいで計算してみよう
という発想にならないのでしょうか?
うまくいけば帰納法の枠組みに入るかとか見えてくるものです.

Q微小変化のdやδ,微分のd,積分のd,ベクトル解析や微分幾何学の微分形式

これらは、定義は夫々バラバラだと思いますが、共通的な概念があると思います.より統一的な視点ではどのように解釈したらよいでしょうか?特に超準解析の無限小から始まって統一的に理解できるでしょうか?

Aベストアンサー

「超準解析」は遠い昔に読んだ記憶があり、細かいことは忘れてしまいましたが、一言、考えを述べさせて頂きます。
超準解析は、基礎論の立場から、超べき(超積)によって超準モデルをつくり、さらにそれを、広大化させて理論を展開し、位相、その他の解析的概念を構成する方法をとっています。
したがって、当然、微小量に関わることは統一的に理解できるものと予想できますが、微分幾何学の接ベクトル場や微分形式など、あらゆる場面を超準解析で理解しようとするのは、多少無理な部分がでてくるかもしれません。
よく言われるように、一つの公理系では到達できない命題があるからです。

あまり、自信のないことを書いてしまいましたが、こんなことで、よろしいでしょうか。

Q代数学とは。幾何学とは。

一口に言うと、代数や幾何はどのような学問でしょうか。
(代数というと中高校レベルの連立方程式を解いたり、線形代数などのことはおよそ知っています。また、幾何というとユークリッド幾何は昔やったことがあります。)

Aベストアンサー

代数学というのは,数の構造の本質を研究する学問です。
中学のときに文字式を習ったときのことを思い出して下さい。
負の数が登場して(-1)*(-1)がなぜ+1になるかを説明付ける
のに,交換法則や結合法則や分配法則を駆使しましたね。
また,高校で複素数を習ったときも,実数の四則演算が
(well-definedに)拡張できることを示しましたね。
あのような探求をとことん突き詰めた状況をイメージして
いただければよいでしょう。

幾何学とは,図形の本質を研究する学問です。
「図形と方程式」のように数式で図形を表現する代数幾何学,
微分積分を用いて図形量や性質をとらえる微分幾何学など,
いろんな道具を駆使して研究します。

ユークリッド幾何は初等幾何学に属します。ちなみに,
「初等」とは易しいという意味ではなくて,理論を駆使しない
という意味で,とらえようによっては難しいと言えます。

大学の数学も高校の数学と本質は全く同じですが,
高校までの数学は基礎の基礎なので,それだけでは
数学全体をイメージするのは難しいかも知れません。

代数学というのは,数の構造の本質を研究する学問です。
中学のときに文字式を習ったときのことを思い出して下さい。
負の数が登場して(-1)*(-1)がなぜ+1になるかを説明付ける
のに,交換法則や結合法則や分配法則を駆使しましたね。
また,高校で複素数を習ったときも,実数の四則演算が
(well-definedに)拡張できることを示しましたね。
あのような探求をとことん突き詰めた状況をイメージして
いただければよいでしょう。

幾何学とは,図形の本質を研究する学問です。
「図形と方程式」のように数...続きを読む

Q位相や微分幾何学が役に立つ分野は何がありますか?

「力学を解くことは幾何学を解くこと」と教わり、テンソル等をかじり始めました。が、FEMなどの市販のソフトが既にパワフルで自分が入っていく余地、発展させていく余地を全く感じません。このまま学問を進めるのに虚しさを覚えています。「難しいことを理解した」というだけでは満足できません。
自分も日本再生に貢献したいと考えています。何か数学が積極的に生きる分野は無いでしょうか?
新材料開発とかに役立ったりするでしょうか?曖昧な質問で恐縮ですがよろしくお願いします。

Aベストアンサー

1の回答者です。

そういうことでしたら、情報工学や情報理論の分野をお勧めしますよ。

具体的に言うと、例えばグラフ理論やセールスマン巡回問題、暗号理論などは、まさに幾何学・数学が応用できて、しかも工学的にも役立つ分野です。良い成果が出ればノーベル賞も夢ではありません。

これらのキーワードでネット検索してみて、興味があれば勉強してください。

(ちなみに純粋な数学にはノーベル賞はありません。)

Q 統計学の素人ですが、次の問題を教えていただければありがたいです。 実

 統計学の素人ですが、次の問題を教えていただければありがたいです。 実は最近同じ質問票を使って、二回の調査を行いました。一回目は特定の4社の100人に対して調査を行って、二回目はあるゼミなーに参加する人に対して調査を行いました。二回の調査の結果を合計して分析することができますか?それとも別々に分析して、二回の調査結果の相関関係とか異なるところを分析したほうがいいですか。(調査対象になる人は同じ職務をやっている人ですが、調査内容な調査対象の情報選択についてです)

 教えていただいたら助かります。宜しくお願いします。

Aベストアンサー

>どのような手法を利用したらよろしいですか
統計学を利用する場合は、「調査の前に統計処理法を考えてから、調査をせよ」というのが、大原則です。大型バイクを買いました、どうすれば良いでしょう、という人は珍しいと思います。お金さえあれば、誰でも買えますが、免許をとるまで何年かかることか。最初に倒れたバイクを起こすことが要求されますが、体力が無いと無理です。
 
 また、調査の目的、調査の項目、回答方式、によって統計処理の方法が異なります。アンケートは簡単にできても、回答方式が不適切で統計処理ができない、なんぞは珍しくありません。また、人数が少ない、回答率が悪い、なんぞは致命傷です。回答率が悪ければ、高くなるように工夫することが必要で、調査後には工夫のしようがない。だから、調査前に、統計処理を考えて、となります。

 相関分析は、初心がするのは、間違いの元。計算はできますが、プロでも解釈が間違っている例が少なくありません、まあ、慣れるため、練習の為、には必要なステップですが。
 それに、比例尺度なら通常の相関分析ですが、順序尺度ならU検定を使う、などが必要です。調査がどんな尺度で回答されているか、ご質問からは分かりませんので、正確な回答はできません。

 一般の統計学では、検定をよくやります。「統計が難しい」というのは、検定です。この検定では「有意差がある」を明示するのが目的ですが、主張できるのはそれだけです。相関は、違います。が、この違いが分かるようになられないと、相関の解釈が懸念されます。

 二つのグループを比較するのは、意味があるのでしょうか。あるのなら、回答の形式にもよりますが、カイ2乗検定が使えるかもしれません。が、「有意差あり」と出しても・・・。というのは、別のレベルの集団です。日本人とアメリカ人を比較して、「有意差があった」なんぞは、誰も相手にしないでしょう。

 それと、記述統計学と推測統計学の相違を理解されていますか。そこが出発点です。以上、老婆心まで(ジジイですが)。

>どのような手法を利用したらよろしいですか
統計学を利用する場合は、「調査の前に統計処理法を考えてから、調査をせよ」というのが、大原則です。大型バイクを買いました、どうすれば良いでしょう、という人は珍しいと思います。お金さえあれば、誰でも買えますが、免許をとるまで何年かかることか。最初に倒れたバイクを起こすことが要求されますが、体力が無いと無理です。
 
 また、調査の目的、調査の項目、回答方式、によって統計処理の方法が異なります。アンケートは簡単にできても、回答方式が不適切...続きを読む


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