球面x^2+y^2+z^2=a^2(a>0)と円柱x^2+y^2=axで囲まれた立体の体積を求めよ、という問題があります。
領域D={(x,y)|x^2+y^2≦ax}上で関数z=±√(a^2-x^2-y^2)に関する
2∬D|z|dxdyが求める体積です。極座標に変換すると、θの範囲は-π/2≦θ≦π/2で、rの範囲は0<r≦acosθですね。
求める体積は、2∬D{√(a^2-x^2-y^2)}dxdy=2∫{-π/2→π/2}∫{0→acosθ}√(a^2-r^2)*rdrdθ=
-2/3*∫{-π/2→π/2}(a^3*(sinθ)^3-a^3)dθ
ここで、θの範囲を0→π/2に変えて、全体を2倍しなければ正しい答えが出ません。((sinθ)^3は奇関数なので、当然異なった値が出る。)
なぜ、θの範囲を0→π/2に変えて、全体を2倍する作業をしなければならないのでしょうか?
答えは2a^3*(3π-4)/9となっております。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
こんにちは。
(sinθ)^2+(cosθ)^2=1・・・・・・・(1)
と言う公式をよく使う。
しかし、(1)式をも少し分析すると
(±sinθ)^2+(±cosθ)^2=1・・・・・(2)
と言う情報を持っていることがわかる。
とにかく、(1)式は(2)式を意味しているのです。
では、(2)式をも少し詳しく分析してみる。
(第I象限)において
(+sinθ)^2+(+cosθ)^2=1・・・・・(3)
sinθ<ーーー>cosθに変換する場合(3)式を
使う必要があります。
なぜなら
sinθ>0、cosθ>0であるからです。
(第II象限)の場合
(+sinθ)^2+(-cosθ)^2=1・・・・・(4)
を使う必要があります。
なぜなら
sinθ>0、cosθ<0であるからです。
(第III象限)の場合
(-sinθ)^2+(-cosθ)^2=1・・・・・(5)
式を使う必要がありますね。
なぜなら
sinθ<0、cosθ<0であるからです。
(第IV象限)の場合
(-sinθ)^2+(+cosθ)^2=1・・・・・(6)
式を使う必要がありますね。
なぜなら
sinθ<0、cosθ>0であるからです。
したがって-π/2≦θ≦0の領域(第IV象限)で計算する場合は(6)式を使う必要があるのです。
この点に気をつけて計算すると正しい答えが出てきます。
ありがとうございました。
4つの象限に分け、正負の関係を丁寧に教えてくださって助かりました。
このご回答をもとに作成された、もうひとつのご回答のほうもありがとうございました。
No.4
- 回答日時:
球面x^2+y^2+z^2=a^2(a>0)と円柱x^2+y^2=axで囲まれた立体の体積を求めよ、という問題があります。
領域D={(x,y)|x^2+y^2≦ax}上で関数z=±√(a^2-x^2-y^2)に関する
2∬D|z|dxdyが求める体積です。
===================================
領域D={(x,y,z)|x^2+y^2≦ax,x>0、y<0、z>0}上で
関数z=+√(a^2-x^2-y^2)に関する体積Vを求めます。
4*Vが元の問題の解答ですね。
・積分領域「-π/2、0」
r=acosθ
x=rcosθ
y=rsinθ
ヤコビヤン|J|=rとなります。
つまり
dxdyーーー>rdθdr・・・・・(3)
V=∫[θ=-π/2、θ=0]∫[r=0,r=acosθ]√(a^2-r^2)(r) dr dθ
=∫[θ=-π/2、θ=0]dθ [(-1/3){(a^2-r^2)^3/2}] [r=0,r=acosθ]
=a^3/3∫[-π/2、0](1+sinθ^3)dθ
(#3における公式(6)を使います。ここがポイントです。)
=a^3/3[(θ-cosθ+(1/3)cosθ^3)[θ=-π/2、θ=0]
=(a^3/3)(-1+1/3+π/2)・・・・・(4)
=(a^3/3)(3π-4)/6)・・・・・(5)
=(a^3)・(3π-4)/18・・・・・(6)
ここで、
4*V=2(a^3)・(3π-4)/9・・・・・(7)
となり、正解が求まりますね。
No.2
- 回答日時:
過去問で同じ問題で同じ質問に回答していますのでご覧下さい。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4683822.html
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4689373.html
リンクありがとうございました。
象限と正負の関係で混乱するケースは多いみたいですね。
そこがこの問題の難しいところだと思いました。
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