複素数の関数

「w=z^2のとき，x,yをu,vの関数で表し，z平面の実軸および虚軸に平行なw平面のどのような曲線に写像されるかを調べよ。」

という問題で、「z平面の実軸および虚軸に平行なw平面のどのような曲線に写像されるかを調べよ。」
をどうしたらいいのかわかりません。
教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/03/21 11:44

>どうしたらいいのかわかりません。

どの教科書、参考書にでも写像のやり方が載っていますので自分で調べて下さい。
そして、自分で解答を作って補足に書いて下さい。
その上で分からない所だけ質問して下さい。

ヒント
z=x+iy, w=u+ivをw=z^2に代入して
実部、虚部がそれぞれ等しいとおくだけ。

x軸に平行な直線なら
y=kと置いて, u,vの式からxを消去すれば
y=kが写像された曲線の式が求まる。

このサイトは回答者に解答をしてもらうと所ではないので、
十分で解答をつくることを念頭に質問して下さい。

この回答への補足

z=x+iy
w=u+iv

w=z^2=x^2-y^2+i2xy
比較して
u=x^2-y^2
v=2xy
この二式をx,yについて解いて、
x=±[{u±(u^2+v^2)^(1/2)}/2]^(1/2)
y=±[{-u±(u^2+v^2)^(1/2)}/2]^(1/2)

実軸に平行な直線をy＝a
虚軸に平行な直線をx＝b

とおくいて代入すると、

z平面における
　実軸に平行な直線のw平面への写像はv^2＝4b^2(b^2-u)
　虚軸に平行な直線のw平面への写像はv^2＝4a^2(a^2+u)

おかげさまで、この問題は答えまでたどり着けました。
写像も少しずつわかり始めています。
＜このサイトは回答者に解答をしてもらうと所ではないので、
　十分で解答をつくることを念頭に質問して下さい。
ということで、私はこのサイトに甘えすぎていたのかもしれません。

これからは自分で調べ、理解することを心がけたいと思います。

この場を借りて、３名の方にお礼申し上げます。ありがとうございました。

補足日時：2009/03/23 01:32

No.6 回答者： info22 回答日時： 2009/03/25 02:19

#3,#5です。

A#5の補足質問の解答

変数を消去する際には、消去される変数を、消去するために代入する式の変数の条件をつけて代入しないと、同値関係が保たれません。

>u=x^2-a^2
>の両辺に4a^2をかけて
この際 a=0の場合を除かないと、uの式に0を両辺にかけることも含まれて、uとxの関係が何であっても良いとなってしまいます。
なので
a=0の場合は　u=x^2　として別扱いする。
xは実数全体の範囲なので u≧0(■)となります。
これがこの場合の　xを消去される時 uに付される条件になります。
a≠0の場合だけ 4ua^2=4a^2(x^2-a^2)
となります。
　この場合も u=x^2-a^2が成り立っており
　xは実数全体の範囲なので x^2=u+a^2≧0
つまり　u≧-a^2…(▲)
　これがこの場合の　xを消去される時 uに付される条件になります。
　
この後
>v=2ax
>の両辺を2乗し
>v^2=4(u+a^2)a^2…(●)
>をもとめたら、uの範囲が出てこない

代入する時xが消去されるので xの条件をｖの条件におきかえないといけませんね。

a=0の場合は xの如何にかかわらず v=0で
このとき(■)から u≧0 の条件だつきます。
a≠0の場合は, x=v/(2a) これから(●)を導出する際に
　axv>0…(◆)という情報が失われます。つまり(●)は余分なものが
　紛れ込んだ式になって同値関係が崩れています。
　導出された(●)の式
　v^2=4(u+a^2)a^2…（▼）
については　(▲)の条件がついています。
　なので(▼)の両辺のルートをとると
　v=±2a√(u+a^2) , u+a^2≧0
ですが、（◆)から
　x>0の領域が v=2a√(u+a^2)　に対応し
x<0の領域が v=-2a√(u+a^2) に対応して
　いることが分かります。
x=0の時は元に戻れば、u=-a^2(≠0),v=0　に対応していることが
　分かります。

以上のように、等価関係を維持しながら、消去されるx,yの実数条件を
uとｖの条件に置き換えないと正しい答が出てきません。
x,yの消去過程で uの範囲がでてくるわけですね。

この回答へのお礼

元の問題のみならず、計算まで教えていただきありがとうございました。

おかげさまで理解することができました。

これからなるべく自分で考えるようにはしますが、どうしてもわからないときはまたこのサイトにお世話になると思います。

そのときはまたよろしくお願いします：-)

お礼日時：2009/03/25 09:55

No.5 回答者： info22 回答日時： 2009/03/23 03:36

#3です。

A#3の補足の解答にミスがありますので
正解を書いておきます。
まとめの答が式が上下、入れ替わってしまっていますね

> u=x^2-y^2
> v=2xy
ここで
>実軸に平行な直線をy＝a
>とおくいて代入すると、
u=x^2-a^2
v=2ax
xを消去すると
a=0の時v=0,u=x^2 -> 0≦u<∞
a≠0の時 u=v^2/(4a^2)-a^2 -> v^2=4(u+a^2)a^2
なので
>z平面における
>　実軸に平行な直線のw平面への写像はv^2＝4b^2(b^2-u)
はミスで、正解は、
「a=0の時　v=0(0≦u<∞),a≠0の時v^2=4(u+a^2)a^2」
ですね。

また
>虚軸に平行な直線をx＝b
>とおくいて代入すると、
u=b^2-y^2
v=2by
xを消去すると
b=0でv=0,u=-y^2 -> -∞<u≦0
b≠0で u=b^2-v^2/(4b^2) -> v^2=4(b^2-u)b^2
なので
>z平面における
>　虚軸に平行な直線のw平面への写像はv^2＝4a^2(a^2+u)
はミスで、正解は「b=0の時　v=0(0≧u>-∞),b≠0の時v^2=4(b^2-u)b^2」
ですね。

この回答への補足

ご指摘ありがとうございます。

恐縮ですが、もうひとつ質問をさせてください。

xあるいはyを消去する際に、

u=x^2-a^2
の両辺に4a^2をかけて
v=2ax
の両辺を2乗し
v^2=4(u+a^2)a^2
をもとめたら、uの範囲が出てこないまま解答を終えてしまいました。

この原因は両辺を２乗したことにあるのでしょうか？

補足日時：2009/03/24 22:44

No.4 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/03/22 00:45

まづ、問題を理解すること。

z,w の関係式から、x,y,u,v の関係が解るためには、
z,w と x,y,u,v の関係が必要ですね？
貴方の質問には、それが書いてありません。

最大限に空気を読んで、
z = x + y i,　w = u + v i　(x,y,u,v は実数)
の下に、No.1 に指摘されているように、
z平面の実軸および虚軸に平行な「直線が、」w平面のどのような曲線に
写像されるかを調べるためには、
u + v i = (x + y i)^2 両辺の実部虚部をそれぞれ比較して、
x,y を u,v の式で表すだけですが、その際、
連立二次方程式を解くことになります。
t = x^2, -y^2 を解に持つ t の二次方程式を見つける
ようにすると、簡単に解けると思います。

No.2 回答者： jmh 回答日時： 2009/03/21 05:12

＃１です。

> google で「…」を検索すると同んなじ問題が見つかります。
「答え」も載ってるので検索しちゃダメ！

No.1 回答者： jmh 回答日時： 2009/03/21 04:07

問題文がおかしいです。

google で「z平面の実軸および虚軸に平行なw平面のどのような曲線に写像されるか」を検索すると同んなじ問題が見つかります。「z平面の実軸<に平行な直線>および虚軸に平行な<直線は、それぞれ>ｗ平面のどのような曲線に写像されるか」の間違いではないかしら？