流水算が解けません。

中学2年の息子に算数の復習をさせており、問題を出しているのですがこの問題で止まってしまいました。

問題）Ａ船は川上の町を，Ｂ船は川下の町を同時に出発し，向かい合って進みました。出発してから
２時間後に２そうの船は出会い，それから１時間後にＡ船は川下の町に着きました。Ａ船，Ｂ船の
静水時の速さはどちらも毎時１８kmです。
(1)Ａ船の下りの速さとＢ船の上りの速さの比を求めなさい。
(2)川上の町と川下の町は何km離れていますか。

上記の問題で、（1）は、A船とB船が出会った地点を中心に考え、時間の比から速度の比を求めることができました。
A船、B船のかかった時間の比は1:2。時間の比から速度の比が求められるので、
∴A船、B船の速度の比は2:1。←この考え方はOKで理解できています。

(2）の距離を求めるには解答を見ると、出会いの公式を使っい距離を求めています。
距離÷（速さの和）=時間　距離をXとすると
X÷（18＋18）=2　∴正解は川上の町と川下の町は72km。　

ここでわからないのが、（速さの和=18＋18）にする理由がわかりません。
自分なりに、A・B船がかかった時間の合計が、9時間なので、距離÷速さ=時間
にあてはめましたが、速さのところでひっかかりまして？です。
X÷速さ=9　速さは、18＋18だと36km/h。X÷36=9　X=324　324kmになってしまいます。

お詳しい方々様、どうかよろしくご教授ください。

No.2 ベストアンサー 回答者： Quattro99 回答日時： 2009/04/15 11:51

> 出発してから２時間後に２そうの船は出会い

解答の出会いの公式というのは、この部分について立式しています。
> 距離÷（速さの和）=時間
これは、「両者が向かい合って進んだ距離（両者の進んだ距離の和）」を「両者の速さの和」で割ると「両者が向かい合って進んだ時間」が出てくることを意味しています。
これは、両者が向かい合って進んでいる間だけで成り立つことです。両者とも進んでいないと速さを合計することが出来ないからです。
また、出てくる時間は「両者が進んだ時間の和」ではありません。
公式を逆にして考えるとわかりやすいかも知れません。
距離＝（速さの和）×時間
と考えると、
距離＝（Aの速さ＋Bの速さ）×時間
距離＝Aの速さ×時間＋Bの速さ×時間 －－－(ア)
となります。つまり、
距離＝Aが進んだ距離＋Bが進んだ距離
ということです。
これを元の問題に当てはめて考えると、川上の町と川下の町との距離をXkmとすると、
X＝Aが進んだ距離＋Bが進んだ距離
とするには、
> 出発してから２時間後に２そうの船は出会い
という部分で考えねばならないとわかると思います。そして、
X=Aの速さ×2＋Bの速さ×2＝（Aの速さ＋Bの速さ）×2＝（速さの和）×2
となります。
こう考えれば、(ア)の時間というのが和ではないと言うことがわかると思います。
AとBであわせてXkm進んだと考えればよいわけです。

この回答へのお礼

早々の回答、ありがとうございます。 距離÷（速さの和）=時間に惑わされてました。距離＝速さ×時間なので、A・B船おのおの2時間の距離を求めることが頭に浮かべば答えが導くことができたのですね。これからこのような場合は、式を変形して考えてみることも必要と感じた次第です。非常に丁寧でわかりやすいご回答でした。誠に感謝申し上げます。

お礼日時：2009/04/15 12:56

No.3 回答者： htms42 回答日時： 2009/04/16 13:16

運動するものがＡ、Ｂの２つです。

それに川の流れが付け加わります。

流水算という名前がついているのですか。
初めて知りました。
～算ということで～の場合は～の公式、～の場合は～の公式と使い分けるのをやっていると沈没します。
基本はあくまでもＡの運動、Ｂの運動を別々に追いかけて関係を導くことです。＃１に添付されているＡＢの関係を示す図が基本です。

(1)出合った場所までにかかった時間は２時間です。
(2)Ａの進んだ距離とＢの進んだ距離の和が２つの町の距離になります。
(3)Ｂが２時間で行った距離をＡは１時間で行きます。
　　→　Ａは上の町から下の町まで3時間で行きます。
(4)静水での速さはＡ、Ｂとも１８ｋｍ／ｈです。

(5)川の流れの速さをｘｋｍ／ｈとするとＡの速さは(１８＋ｘ)ｋｍ／ｈ、Ｂの速さは(１８－ｘ)ｋｍ／ｈです。

（１）から（４）は問題文に示されています。
解答では（５）を考えるのを飛ばしているようです。
「出会うまでの時間は流れの速さには関係しない」というのはいきなり使うことではありません。導くべき内容です。　
高校の物理では（５）のステップを入れるように言います。
もし（５）のステップを入れれば異なる解き方も出てきます。
（３）からＡの速さはＢの２倍であるということが分かりますから
(１８＋ｘ)/(１８－ｘ)＝２
ｘ＝６
Ａの速さは２４、Ｂの速さは１２
Ａは３時間で下の町についていますから
２４×３＝７２
解き方は１通りではありません。

～算という解き方の特徴は解き方が１つしかないような印象を与える所にあります。だから問題の文章ごとに場合を考えて公式を当てはめるという作業になってしまうのです。
(1)～(5)の材料が揃えばどう解くかは自由です。

中学生ですから未知数を使ってもいいでしょう。
未知数を使わない解き方をということで（５）の表現を飛ばしてしまって結果だけ持ち込んだという所に算術の特徴が出ています。

高校の物理では運動の合成で川を横切る場合も出てきます。どういう風に合成されるかは明示すべき内容なのです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
＜～算ということで～の場合は～の公式、～の場合は～の公式と使い分けるのをやっていると沈没します。
　そうですね。例えば、距離=速さ×時間の公式に当てはめても、距離がkmもあればmもあるし、速さ、時間にしたって分速やら時速やらがあって公式を忘れると、お手上げになります。私は、公式で考えると単位で引っかかって導くことができなくなるので比を使います。時速60kmで走る車の5時間後の進む距離を求める場合は、1時間:60km＝5時間:Xkm
で右辺、左辺の式が同じ単位になり、X=300（単位もなくなります）となり、公式と同じになることが確認できます。子供に公式を使ってと教えても単位でこんがらってくるので、比で説明して納得してもらっています。
＜解き方は１通りではありません。
　いろんな導き方ができるように私も指導できればと努力していきたいです。

　

お礼日時：2009/04/17 04:42

No.1 回答者： himajin100000 回答日時： 2009/04/15 11:21

>速さの和=18＋18

静水時の速度がどちらも18km/hであるとして，
川の流れがx km/hだとすると
Aは(18+x) km/h
Bは(18-x) km/h

だから
A + B = 36

>A・B船がかかった時間の合計が、9時間なので
以下の問題と回答1,4を読んでみて下さい。
別々なものをごっちゃにしています。
http://oshiete.eibi.co.jp/qa3975467.html

(ちなみにかかった時間はAが3時間,Bが6時間です)

Aが3時間走り，Bが3時間走ったら
A+Bが3時間走ったのと同じであって
6時間ではありません

この回答へのお礼

注目すべきは、Ａ船は川上の町を，Ｂ船は川下の町を同時に出発での2時間後の距離ですので、Aの時間とBの時間を足しても意味ないですよね。川も流れは結局相殺されて、なくなることもわかりました。回答ありがとうございました。

お礼日時：2009/04/15 13:20