問題:次の関数の導関数を求めよ。
y = |sin(x/2)|

自己見解:絶対値を外した式を考えます。
Y = sin(x/2)
そのまま微分すると、
Y’= 1/2 cos(x/2)
となります。元の関数yは、このグラフについて、
n < x < 2n+1 (n = 1, 2, 3, ...)
の範囲でx軸を対称に折り返した形となります。なので、x-y’のグラフは、
Y’= 1/2 cos(x/2)
において
n < x < 2n+1 (n = 1, 2, 3, ...)
の範囲だけx軸を中心にひっくり返したグラフ(∫を左右対称にしたような形)になると思うのですが、その後これを式で表すことができません。
この後の解法についてご教授願います。
(別の分かりやすい解法があればそちらでもかまいませんのでお教えください)

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A 回答 (1件)

絶対値の定義である


 A>0のとき
   |A| = A
 A<0のとき
   |A| = -A
に戻って考えれば、
そのように安直に絶対値をただ外してしまわずとも
 sin(x/2)>0のとき
   y = |sin(x/2)| = sin(x/2)
 sin(x/2)<0のとき
   y = |sin(x/2)| = -sin(x/2)
となることが分かるでしょう。

sin(x/2)も-sin(x/2)も微分することは簡単にできますよね?


あとは質問者さまも気づいているようですが。
y=sin(x/2)はx=0,π,2π,3π,4π,...で正負が入れ替わりますから
  nπ < x < (n+1)π
で区切って考えれば良さそうですね。
nが偶数のときと奇数のときでそれぞれ考えてみてください。

さらに場合分けの境目であるx=nπのときには、そもそも微分できるかどうか、右極限と左極限をそれぞれ調べてみる必要があります。
注意してください。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>y=sin(x/2)はx=0,π,2π,3π,4π,...で正負が入れ替わりますから
>  nπ < x < (n+1)π
>で区切って考えれば良さそうですね。

質問の中で私が示した範囲では変ですね。
ただ、y=sin(x/2)で正負が入れ替わるのはx=0,2π,4π,...と思うのです。
すると、2nπ < x < 2(n+1)π(n = 0, ±1, ±2, ...)となりますよね。
これを、
(ⅰ) 2n=4m (m:任意の整数)
(ⅱ) 2n=4m+2 (m:任意の整数)
で場合分けして考えると、(ⅰ)ではsin(x/2)>0、(ⅱ)ではsin(x/2)<0となるので、それぞれのyについて微分できますね。

また、

>さらに場合分けの境目であるx=nπのときには、そもそも微分できるかどうか、右極限と左極限をそれぞれ調べてみる必要があります。
>注意してください。

こちらは忘れていました。
x=nπでは右極限と左極限の絶対値は等しいですが正負が異なるため、微分可能ではありませんね。
ご指摘感謝します。

お礼日時:2009/05/11 21:44

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グラフを描いてみたのですが、
|sinx|はx=0,π(πの周期)で微分不可能と思いました。
|cosx|はx=π/2の周期で微分不可能と思いました。
で|logx|はx=1で微分不可能と思いました。

例えば、|cosx|はx=0では微分可能ですが、
|sinx|はx=0では微分不可能です。
x=0に関しては、|cosx|は微分できるけど
|sinx|は微分できないと思います?
|logx|は、x=0関数が定義されない、x=1では
微分できない。

ここで、単純に|cosx|や|sinx|を微分せよ
と出題された場合は微分できないと言う回答でOKでしょうか?
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しています。


絶対値が付いている関数の微分の例題と回答があれば教えて下さい。

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Aベストアンサー

こんばんわ。

「微分可能」ということの定義は大丈夫ですよね?
極限として求めた場合に、左極限(h→-0)と右極限(h→+0)の値が一致することです。

ですので、
|sin(x)|の x= nπや |cos(x)|の x= (2n+1)π/2といった点では、微分不可能となります。
ただ、それ以外の点では微分可能です。
ですから、

>ここで、単純に|cosx|や|sinx|を微分せよ
>と出題された場合は微分できないと言う回答でOKでしょうか?
というわけではなく、条件を付けたり(x≠ nπなど)や場合分けをして(絶対値の中の正負)
微分係数を求めるのが通常だと思います。

絶対値付きの関数のグラフを考えると、y< 0の部分は x軸で折り返していることになります。
ですので、この「折り目」になっている点で、たいていは微分不可能になってきます。
(折り返す前のグラフが連続であり、かつ x軸をまたいでいるような点では)

>絶対値が付いている関数の微分の例題と回答があれば教えて下さい。
高校数学の内容でありがちな問題としては、
「連続」と「微分可能性」を論じさせるようなものがありますね。
関数:y= |x|について、x= 0で連続ではあるが、微分不可能であることを示せ。

こんばんわ。

「微分可能」ということの定義は大丈夫ですよね?
極限として求めた場合に、左極限(h→-0)と右極限(h→+0)の値が一致することです。

ですので、
|sin(x)|の x= nπや |cos(x)|の x= (2n+1)π/2といった点では、微分不可能となります。
ただ、それ以外の点では微分可能です。
ですから、

>ここで、単純に|cosx|や|sinx|を微分せよ
>と出題された場合は微分できないと言う回答でOKでしょうか?
というわけではなく、条件を付けたり(x≠ nπなど)や場合分けをして(絶対値の中の正負)
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f'(x)=(x^2-1)/(x^2+1)^2
x=0のとき
右微分係数
f'+(0)=lim_{x→+0}{f(x)-f(0)}/x=lim_{x→+0}1/(x^2+1)=1
左微分係数
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ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
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四角形の領域で
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を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x^2+y^2)=r^2, dxdy=rdrdθ
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同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e^-(2a^2)}
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<√{(π/4){1-e^-(2a^2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e^-(x^2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

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と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
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∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
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Q絶対値つきの定積分の問題

∫|sin x|dx  範囲は[-π,π]
=2∫|sin x|dx 範囲は[0,π]  ←範囲が[-π,π]で、|sin x|は偶関数なので。
=2∫(sin x)dx + 2∫(sin x)dx 範囲は[0,?]と[?,π]
=...

範囲が分かりません。

絶対値がある場合の積分の計算は、場合分けをすると思うのですが
その場合分けの考え方が分かりません。

答えは「4」と分かっているんですが、途中式がないため答えまでたどり着きません。

「場合分けの考え方」と「途中式」の説明をお願いします。

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y=|sin x| のグラフを考えます。
  まず y=sinx のグラフは -π≦x≦π の範囲で
 書けますか?
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 これさえわかれば
∫|sin x|dx  範囲は[-π,π]
=2∫sin xdx 範囲は[0,π]   がわかりますよね。
絶対値が取れれば計算できるので
∫|sin x|dx  範囲は[-π,π]
=2∫sin xdx 範囲は[0,π] 
=2[-cosx]  範囲は[0,π]
=2(-cosπ+cos0)=4
  
もっと細かくしたいのなら
∫|sin x|dx  範囲は[-π,π]
=2∫sin xdx 範囲は[0,π]  
=4∫sin xdx 範囲は[0,π/2]
 とも出来ますがあまり意味がないと思います。
いずれにしてもグラフでどの部分の面積を求めているのかを考えれば良いと思います。

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固体物理の勉強をしています。
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単純な計算だけで分かります。
体心立方格子のユニットベクトルは
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Qブラッグの式で使われるn次反射について

ブラッグの式で使われるn次反射についてお聞きしたいのですが、
nは1からあるようなのですが、いまいちn次反射についてわかりません。
n次反射について詳しく教えていただけないでしょうか?

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ブラックの反射式は
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(d:面間隔,θ:入射角,λ:波長)
ですね。
nは2d sinθが波長(λ)何個分に相当するかを示した数値です。そのままですね。
あるθ1とθ2で反射ピークを観測したとします。
その時、2d sin θ1=λ、2d sin θ2=2λ
を満たすとき、θ2に現れた反射ピークはθ1で観測した反射ピークの2次反射であるといいます。
高次反射は必ず発生しますが、nが大きくなればなるほど広角になるので反射強度が弱くなり観測が難しくなります。

余談ですが、このn値は逆格子上の指数?(h,k,lの最小公倍数の倍数)と一致します。X線主体の本はこれで説明することが多いようですが、実格子と逆格子を併用してイメージするのはかなり難しいと思います。逆格子は解析するには便利なツールですが、これで現象を理解する事はかなり難しいと思います。

Qn次導関数

e^x sinx のn次導関数はどうやって求めるのですか?

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Lone07さん、こんばんは。
#4#5fushigichanです。
お礼のコメントいただき、ありがとうございました。

ちょっと不完全な気がして、また来ました。

n次導関数を、

f^(n)(x)=(√2)^n*e^x*sin(x+nΠ/4) ・・・(☆)
n:自然数

と予測しましたが、これを数学的帰納法で証明しておかないといけないように思いました。

n=1のとき、
f'(x)=√2e^xsin(x+Π/4)
なので、(☆)は成立している。

n=kのとき、(☆)が成立するとすると、

f^(k)(x)=(√2)^k*e^x*sin(x+kΠ/4)・・・(★)
が成り立っている。

n=k+1のときも(☆)が成り立つことを言えばいいから、
(★)をもう一度、xで微分すると、

f^(k+1)(x)=(√2)^k{(e^x)'sin(x+kΠ/4)+e^x(sin(x+kΠ/4)'}
=(√2)^ke^x{sin(x+kΠ/4)+cos(x+kΠ/4)}
=(√2)^(k+1)*e^x{(1/√2)sin(x+kΠ/4)+(1/√2)cos(x+kΠ/4)}
=(√2)^(k+1)*e^xsin{(x+kΠ/4) + Π/4}
=(√2)^(k+1)*e^x*sin(x+(k+1)Π/4)

となるので、(☆)はn=k+1のときも成り立つことが証明された。
よって、すべての自然数nについて、

f^(n)(x)=(√2)^n*e^x*sin(x+nΠ/4) ・・・(☆)
n:自然数

は成立する。
と、するのがいいと思います。
ご参考になればうれしいです。

Lone07さん、こんばんは。
#4#5fushigichanです。
お礼のコメントいただき、ありがとうございました。

ちょっと不完全な気がして、また来ました。

n次導関数を、

f^(n)(x)=(√2)^n*e^x*sin(x+nΠ/4) ・・・(☆)
n:自然数

と予測しましたが、これを数学的帰納法で証明しておかないといけないように思いました。

n=1のとき、
f'(x)=√2e^xsin(x+Π/4)
なので、(☆)は成立している。

n=kのとき、(☆)が成立するとすると、

f^(k)(x)=(√2)^k*e^x*sin(x+kΠ/4)・・・(★)
が成り立ってい...続きを読む

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/


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