絶対値記号のついた三角関数の微分

問題：次の関数の導関数を求めよ。
y = |sin(x/2)|

自己見解:絶対値を外した式を考えます。
Y = sin(x/2)
そのまま微分すると、
Y’= 1/2 cos(x/2)
となります。元の関数yは、このグラフについて、
n < x < 2n+1 (n = 1, 2, 3, ...)
の範囲でx軸を対称に折り返した形となります。なので、x-y’のグラフは、
Y’= 1/2 cos(x/2)
において
n < x < 2n+1 (n = 1, 2, 3, ...)
の範囲だけx軸を中心にひっくり返したグラフ（∫を左右対称にしたような形）になると思うのですが、その後これを式で表すことができません。
この後の解法についてご教授願います。
(別の分かりやすい解法があればそちらでもかまいませんのでお教えください)

No.1 回答者： proto 回答日時： 2009/05/11 18:05

絶対値の定義である

　A>0のとき
　　　|A| = A
　A<0のとき
　　　|A| = -A
に戻って考えれば、
そのように安直に絶対値をただ外してしまわずとも
　sin(x/2)>0のとき
　　　y = |sin(x/2)| = sin(x/2)
　sin(x/2)<0のとき
　　　y = |sin(x/2)| = -sin(x/2)
となることが分かるでしょう。

sin(x/2)も-sin(x/2)も微分することは簡単にできますよね？


あとは質問者さまも気づいているようですが。
y=sin(x/2)はx=0,π,2π,3π,4π,...で正負が入れ替わりますから
　　nπ ＜ x ＜ (n+1)π
で区切って考えれば良さそうですね。
nが偶数のときと奇数のときでそれぞれ考えてみてください。

さらに場合分けの境目であるx=nπのときには、そもそも微分できるかどうか、右極限と左極限をそれぞれ調べてみる必要があります。
注意してください。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>y=sin(x/2)はx=0,π,2π,3π,4π,...で正負が入れ替わりますから
>　　nπ ＜ x ＜ (n+1)π
>で区切って考えれば良さそうですね。

質問の中で私が示した範囲では変ですね。
ただ、y=sin(x/2)で正負が入れ替わるのはx=0,2π,4π,...と思うのです。
すると、2nπ ＜ x ＜ 2(n+1)π（n = 0, ±1, ±2, ...）となりますよね。
これを、
(ⅰ) 2n=4m (m:任意の整数)
(ⅱ) 2n=4m+2 (m:任意の整数)
で場合分けして考えると、(ⅰ)ではsin(x/2)＞0、(ⅱ)ではsin(x/2)＜0となるので、それぞれのyについて微分できますね。

また、

>さらに場合分けの境目であるx=nπのときには、そもそも微分できるかどうか、右極限と左極限をそれぞれ調べてみる必要があります。
>注意してください。

こちらは忘れていました。
x=nπでは右極限と左極限の絶対値は等しいですが正負が異なるため、微分可能ではありませんね。
ご指摘感謝します。

お礼日時：2009/05/11 21:44