問題:次の関数の導関数を求めよ。
y = |sin(x/2)|

自己見解:絶対値を外した式を考えます。
Y = sin(x/2)
そのまま微分すると、
Y’= 1/2 cos(x/2)
となります。元の関数yは、このグラフについて、
n < x < 2n+1 (n = 1, 2, 3, ...)
の範囲でx軸を対称に折り返した形となります。なので、x-y’のグラフは、
Y’= 1/2 cos(x/2)
において
n < x < 2n+1 (n = 1, 2, 3, ...)
の範囲だけx軸を中心にひっくり返したグラフ(∫を左右対称にしたような形)になると思うのですが、その後これを式で表すことができません。
この後の解法についてご教授願います。
(別の分かりやすい解法があればそちらでもかまいませんのでお教えください)

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A 回答 (1件)

絶対値の定義である


 A>0のとき
   |A| = A
 A<0のとき
   |A| = -A
に戻って考えれば、
そのように安直に絶対値をただ外してしまわずとも
 sin(x/2)>0のとき
   y = |sin(x/2)| = sin(x/2)
 sin(x/2)<0のとき
   y = |sin(x/2)| = -sin(x/2)
となることが分かるでしょう。

sin(x/2)も-sin(x/2)も微分することは簡単にできますよね?


あとは質問者さまも気づいているようですが。
y=sin(x/2)はx=0,π,2π,3π,4π,...で正負が入れ替わりますから
  nπ < x < (n+1)π
で区切って考えれば良さそうですね。
nが偶数のときと奇数のときでそれぞれ考えてみてください。

さらに場合分けの境目であるx=nπのときには、そもそも微分できるかどうか、右極限と左極限をそれぞれ調べてみる必要があります。
注意してください。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>y=sin(x/2)はx=0,π,2π,3π,4π,...で正負が入れ替わりますから
>  nπ < x < (n+1)π
>で区切って考えれば良さそうですね。

質問の中で私が示した範囲では変ですね。
ただ、y=sin(x/2)で正負が入れ替わるのはx=0,2π,4π,...と思うのです。
すると、2nπ < x < 2(n+1)π(n = 0, ±1, ±2, ...)となりますよね。
これを、
(ⅰ) 2n=4m (m:任意の整数)
(ⅱ) 2n=4m+2 (m:任意の整数)
で場合分けして考えると、(ⅰ)ではsin(x/2)>0、(ⅱ)ではsin(x/2)<0となるので、それぞれのyについて微分できますね。

また、

>さらに場合分けの境目であるx=nπのときには、そもそも微分できるかどうか、右極限と左極限をそれぞれ調べてみる必要があります。
>注意してください。

こちらは忘れていました。
x=nπでは右極限と左極限の絶対値は等しいですが正負が異なるため、微分可能ではありませんね。
ご指摘感謝します。

お礼日時:2009/05/11 21:44

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Q【数学】パソコンの数学の分子と分母について質問です】A/BはA割るBを指しますか? A=2 B=4

【数学】パソコンの数学の分子と分母について質問です】A/BはA割るBを指しますか?

A=2
B=4

2÷4=1/2

それともA分のBですか?

2/4=1/2

A/BだとAは分子になる。

A割るBは分子割る分母ってことですよね。

なんで分子が分母を割るんでしょう。

大元の値を普通は分母って言いそうなのになんで分子って言うのか歴史的背景を教えてください。

A
--
B

B分のAってどうやってコンピュータ上で表現するんですか?

A ÷ B = A/Bな気がします

A/BはA割るBっていう意味でB分のAの意味じゃない。

Aベストアンサー

普通は A÷B=A/B ですね。
時々反対の人や言葉で「B分のA」という人がいます。

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

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(2)についてです。赤で書いてあるところで、分母が変数、分子が定数の時に分母が最小になるとdが最大になる、という理由がわかりません。教えてください。

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例えば分子を5とします。
分母が
1のとき→5/1=5
2のとき→5/2=2.5
3のとき→5/3=1.66666....
4のとき→5/4=1.25
5のとき→5/5=1
...
と、分母が小さくなればなるほど解は大きくなってますよね。この法則はどんな数字でも当てはまります。

以上の理由により、分母が変数、分子が定数の場合、分母が最小になると解=dは最小になると言えます。

Qf(x,y)=cos(2x-3y)を df/dx= と df/dy= の形にしてください。計算出来る

f(x,y)=cos(2x-3y)を df/dx= と df/dy= の形にしてください。計算出来る方途中計算含めてお願いします。

Aベストアンサー

z= 2x -3y

とおいて、合成関数の微分を使いましょう。

f(z) = cos(z)

なので、

  df/dz = -sin(z)

dz/dx= 2
dz/dy = 3

より、

df/dx = df/dz * dz/dx = -2 * sin(2x-3y)
df/dy = df/dz * dz/dy = -3 * sin(2x-3y)

Q変数が分母分子両方にあるグラフの概形

お世話になります。

変数が分母分子両方にあるグラフの概形について

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x-1%29^2%2F%28x%2B1%29^3
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%2B1%29%28%28x-2%29%2Fx^3%29

こちらのサイトで色々試してみたところ、双曲線を作ることはわかりましたが、
(当たり前ですが)分母分子の変数の次数によってグラフの概形は色々で、法則性がよくわかっていません。

変数が分母分子両方にある関数のグラフについても、
偶関数、奇関数、上向き・下向きなどは最大次数だけで判断すればいいのでしょうか?

Aベストアンサー

分数式で書かれた関数なら、約分を終えた後で
分母が因数分解できれば、だいたいの形は判る。
分母が 0 になる点の左右で、値が +∞ か -∞ か
だけ見れば、グラフっぽい感じにはなるからだ。
あとは、それこそ分子分母の最高次項を見れば、
変数→±∞ での様子も判る。
そのくらい解れば、大雑把なグラフは描ける。
微分して増減表を書いたほうが、正確なのは
言うまでもないけれども。

Q(x^2)'=2x, (x^1)'=1, (1)'=0, (x^-1)'=-x^-2 そして ∫x^-1 dx = ln|x| + C

(x^2)' = 2x^1 ⇔ ∫2x dx = x^2 + C
(x^1)' = 1 ⇔ ∫1 dx = x + C
※ ln(x)' = x^-1 ⇔ ∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C
(x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
ですが、

なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう?

はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、
イメージとしては、どう捉えればよいでしょう?

証明等は無くても構いませんので、
直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。

(もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)

Aベストアンサー

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
∫x^{n-1}dx = (1/n)x^n + C …(4)
のリストとして考えると、右辺のほうに1/nがあるので、そのリストからは最初からn=0は除外して考えなければなりません。

たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

また、(4)のリストの立場で考えると、(分母にnがあるので)n=0を除外しなければならないけど、一方、積分∫x^{-1}dxというものは厳然として存在しているので、その隙間に、べき関数とは全く違う関数 ln|x|+C が入ってきているという言い方もできます。これは、べき関数だけでは一覧表が完成しないところに、logでもって完成させているということにもなります。つまりlogという関数は、べき関数のリストの「隙間」に入ってきて、「完成させる」というイメージです。

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = l...続きを読む

Q分母と分子の入れ替えた場合小数ではどうなるか

分数の分母と分子を入れ替えることを目的とします。

浮動小数xの分子と分母を入れ替えた解はどのような計算式になるでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

1/x

xが無限小数になる可能性もあるので、誤差は発生するかもしれません。

QX=loga(4/3),Y=loga(8/3),a>0,a≠1のとき,loga3をX,Yで表せ。

X=loga(4/3),Y=loga(8/3),a>0,a≠1のとき,loga3をX,Yで表せ。


この問題の答えはわかるんですが、やり方がわからないので教えてください


ちなみに答えは-3X+2Yです

Aベストアンサー

回答者のヒントで解決しなければ、ヒントを下にやったことを補足に書いてどこで行き詰まっているか、を質問しないと、いつまでも解決しませんよ。
やり方のヒントやアドバイスをもらえるだけですから、自力解答を作って補足に書いて、わからない箇所をきいて下さい。

解答を作るのは質問者さんであって、回答者ではありません。

ヒント)
XとYをloga(2)とloga(3)に分解して、
分解した2つの式からloga(2)を消去して下さい。
消去した式をloga(3)=...
の形に解けば答に至ります。

分からなければ、やった所までを補足に書いて、補足質問して下さい。

Q分母・分子について質問があります。

恥ずかしながら分母と分子の意味が分かりません。

今更誰にも聞けないので誰かこっそり教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

ひょっとしたら、他の回答者さんが書いていること以上に、
根っ子から迷っている可能性があるかも、という気がするので、
大変失礼ながら、本当に、根っ子から書いてみます。

「3分の1」という分数は、
「1つのものを『3つに分けた』ときの『1つ分』」という意味で、
#2さんの表現を借りれば、
『3つに分ける』方が、元になるので「お母さん」「分母」、
その『1つ分』の方は、あとから決めるので「子供」「分子」、
「お母さん」「分母」が「子供」「分子」を背負うので、




「5分の2」なら、
「1つのものを『5つに分けた』ときの『2つ分』」という意味で、
『5つに分ける』が、「お母さん」「分母」、
その『2つ分』は、「子供」「分子」で、




というふうに分数はできています。
なので、書かれた分数を読むときも、
下から上へ、「お母さん」から「子供」へという順番で、
「(分母)分の(分子)」のように読みます。

Qx^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2

x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)
となるのはなぜですか?
教えてください。

Aベストアンサー

1+r+r^2+・・・+r^(n-1)=(1-r^n)/(1-r)

r=x/yとおくと

1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)={1-(x/y)^n}/{1-(x/y)}
故に、
{1-(x/y)^n}={1-(x/y)}{1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)}

両辺にy^nを乗じて
x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)


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