部分分数

1/k(k+1)(k+2)
を部分分数にするとどのようになるのでしょうか？
解法も一緒に答えていただけると助かります

No.1 回答者： noname#101087 回答日時： 2009/05/11 20:24

>1/k(k+1)(k+2) を部分分数にする .....

(1 位極ばかりなので)
　1/k(k+1)(k+2) = A/k + B/(k+1) + C/(k+2)
(とおけます)

・A の勘定。
　両辺に k を掛けて、k = 0 とすると、
　1/2 = A +0 + 0 = A

・B の勘定。
　両辺に (k+1) を掛けて、k = -1 とすると、
　-1 = 0 + B + 0 = B

…てな調子です。
　

No.2 回答者： cfv21 回答日時： 2009/05/11 22:20

1/(x(x＋1)(x＋2))を積分するのであれば、回答No.1の通りですが、文字がkなので、ひょっとして、

Σ1/(k(k＋1)(k＋2))の求和の問題であれば、
1/(k(k＋1))－1/((k＋1)(k＋2))
＝(k＋2)/(k(k＋1)(k＋2)－k/(k(k＋1)(k＋2))
＝((k＋2)－k)/(k(k＋1)(k＋2))
＝2/(k(k＋1)(k＋2)
なので、
1/(k(k＋1)(k＋2))＝(1/2){1/(k(k＋1))－1/((k＋1)(k＋2)}
と変形します。

n
Σ1/(k(k＋1)(k＋2))
k＝1

であれば、
(1/2){1/(1×2)－1/(2×3)＋1/(2×3)－1/(3×4)＋・・・・・・＋1/(n(n＋1))－1/((n＋1)(n＋2))}
＝(1/2){1/(1×2)－1/((n＋1)(n＋2))}
＝(n(n＋3)/(4(n＋1)(n＋2))
となります。

No.3 回答者： noname#113213 回答日時： 2009/05/20 20:06

http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/ca …
をご覧ください。
こちらのページによると、部分分数分解の手順は、
(1)分母を因数分解する
(2)分数を分母の因数ごとに分ける
(3)それぞれの分数について、分母の一番外側の括弧の中の
　次数より一次低い次数で分子を仮定する
(4)通分する
(5)kに関する文字について係数比較

実際にこれに従って解くと…
(1)すでに因数分解されている。
(2)1/k(k+1)(k+2)= /k+ /(k+1)+ /(k+2)
(3)=A/k+B/(k+1)+C/(k+2)
(4)={(A+B+C)*k^2+(3A+2B+C)*k+2A}/k(k+1)(k+2)
(5)A+B+C=0 3A+2B+C=0 2A=1
　よって、A=1/2 B=-1 C=1/2

以上より、1/k(k+1)(k+2)=1/2k-1/(k+1)+1/2(k+2)


他に例えば、
(2*x^2+4)/(x^2+1)^2を部分分数分解すると、
(1)これ以上因数分解できない
(2)(2*x^2+4)/(x^2+1)^2= /(x^2+1) + /(x^2+1)^2
(3)=(Ax+B)/(x^2+1)+(Cx+D)/(x^2+1)^2
(4)=A*x^3+B*x^2+(A+C)*x+B+D/(x^2+1)^2
(5)A=0 B=2 A+C=0 B+D=4
よって、A=0 B=2 C=0 D=2

以上より、(2*x^2+4)/(x^2+1)^2=2/(x^2+1)+2/(x^2+1)^2

参考URL：http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/ca …