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∇・(∇×а)=0を証明してくだい明日までなんです

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A 回答 (5件)

∇・(∇×а)


=∇・
|    i    j   k     |
|  ∂/∂x1 ∂/∂x2  ∂/∂x2  |
| a1      a2     a3 |

=∇・
「 i(∂a3/∂x2- ∂a2/∂x3) 
 +j(-∂a3/∂x1+∂a1/∂x3)
  k(∂a2/∂x1- ∂a1/∂x2)」

=(∂^2(a3)/(∂x1∂x2)- ∂^2(a2)/(∂x1∂x3))
(-∂^2(a3)/(∂x2∂x1)+∂^2(a1)/(∂x2∂x3))
(∂^2(a2)/(∂x3∂x1)- ∂^2(a1)/(∂x3∂x2))
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この回答へのお礼

ありがとうございますとても助かりますました

お礼日時:2009/05/14 01:15

A・(B×C)=-B・(A×C)・・・・・(1)


の公式がある。

これに、ベクトル解析∇・(∇×а)を適用する。
A---->∇
B---->∇
C---->a

∇・(∇×a)=-∇・(∇×a)・・・・・(2)

∇・(∇×a)+∇・(∇×a)=0・・・・・(3)

2∇・(∇×a)=0・・・・・・・・・(4)

∇・(∇×a)=0・・・・・・・・・・・(5)
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∇・(∇×а) = εijk・∂i・aj・∂k


       = -εkji・∂i・aj・∂k
       = -εijk・∂k・aj・∂i
       = -εijk・∂i・aj・∂k
より、 εijk・∂i・aj・∂k = 0 です。
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No.2の人が答えてしまっているので、折角なので・・・



通常のベクトル計算の公式
A・(B×C)= C・(A×B)=(A×B)・Cにならって
解く方法を提案します。

∇・(∇×a)ですが、∇はaに作用して、∇どうしは影響しあわないことに着目します。
するとA・(B×C)= C・(A×B)=(A×B)・Cにならって
∇・(∇×a) = <a・(∇×∇)> =(∇×∇)・a
とできます。ここで<>は各項のaを一番右側に並べる操作を表すとします。
つまり、例えば
<a_x ∂_y ∂_z>=∂_y ∂_z a_x
のようにするということです。

∇×∇=0なので
(つまり一般に∂_x ∂_y - ∂_y ∂_x = 0のようなことが成り立つので)

∇・(∇×a) = <a・(∇×∇)> =(∇×∇)・a = 0

となります。
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ヒントだけ申し上げるならば、この計算に近道はありません。


定義に従って、順番に愚直に丁寧に計算するしかありません。
頑張って下さい。本気で取りかかれば、意外と簡単です。
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