∇演算子の計算

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質問者：528612
質問日時：2011/01/10 17:45
回答数：4件

∇×∇×A = ∇∇•A -∇^2A
ですが、右辺の∇∇•Aと∇^2Aの違いがわかりません。
同じだと打ち消し合って0になってしまいます。
計算の仕方が違うのならば、∇∇•Aの計算方法を教えて下さい。

ちなみに、∇は極座標表示で
∇　= ∂/∂r* ar +∂/r∂θ* aθ + ∂/r sinθ∂φ* aφ
ar, aθ, aφはそれぞれ極座標単位ベクトルです。

どなたか、ご指摘、アドバイスよろしくお願いいたします。

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回答 (4件)

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No.3ベストアンサー

回答者： alice_44
回答日時：2011/01/10 21:38

一番ややこしい項は ∇^2 A で、

∇^2 の ^2 が ∇ どうしの内積を表していることや、
∇^2 は本来スカラからスカラへの写像のはずで、
ベクトルへ作用するときには
∇^2 [u, v, w] = [∇^2 u, ∇^2 v, ∇^2 w] という意味
であることなどを知っていないと読めません。

∇を使った式の書きかたに慣れていないならば、
その公式は、rot rot A = (grad div A) - (div grad A)
とでも書いたほうが解りやすいかもしれない。

あるいは、∇で書くにしても、筆を加えて
∇×(∇×A) = ∇(∇•A) - (∇・∇)A とか、
∇×(∇×A) = ∇(∇•A) - ΔA とか。

結局、A = [u, v, w] のとき、

∇∇•A = ∇(∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z)
= [∂^2u/∂x^2+∂^2v/∂y∂x+∂^2w/∂z∂x, ∂^2u/∂x∂y+∂^2v/∂y^2+∂^2w/∂z∂y, ∂^2u/∂x∂z+∂^2v/∂y∂z+∂^2w/∂z^2]

∇^2 A = [∇^2 u, ∇^2 v, ∇^2 w]
= [∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2+∂^2u/∂z^2, ∂^2v/∂x^2+∂^2v/∂y^2+∂^2v/∂z^2, ∂^2w/∂x^2+∂^2w/∂y^2+∂^2w/∂z^2]

となります。

尚、この回答では、
計算順序の ( ) と区別するため、ベクトルの括弧を [ ] と書きました。