初等的な公式の証明について

∇×(∇×A ) ＝ ∇(∇・A )－∇^2A

の証明が分かりません。どなたか基本を教えていただければ。恐縮です。すいません・・・

No.1 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/08/02 09:53

この手のベクトル解析の証明は、基本的に成分に分けて、計算します。

∇=i↑∂/∂x+j↑∂/∂y+k↑∂/∂z
A↑=Ax*i↑+Ay*j↑+Az*k↑

として、x,y,z成分に分けて計算します。
x成分だけを計算して残りは全て同じ計算で可能です。

左辺のx成分を求めるには
∇×(∇×A↑)のx成分=(∂/∂y){(∇×A↑)のz成分}-(∂/∂z){(∇×A↑)のy成分}
=(∂/∂y){(∂Ay/∂z-∂Az/∂Ay}-(∂/∂z){∂Ax/∂z-∂Az/∂x}

これを展開します。

右辺も同様に
{∇(∇・A↑)-∇^2A↑}のx成分=(∂/∂x)(∂Ax/∂x+∂Ay/∂y+∂Az/∂z)-(∂^2/∂x^2+∂^2/∂y^2+∂^2/∂z^2)Ax

展開したものが等しいことを示す。

この回答へのお礼

あ、すいません。分かりました。早速のご回答誠にありがとうございました！

お礼日時：2009/08/02 10:45

No.2 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/08/02 10:07

∇ と ∇× と ∇・ の定義に沿って

コツコツ成分計算するだけです。
計算してみると、A は無条件ではなく、
微分の順序変更ができるように
ある程度なめらかでなくてはいけない
ことも見えてくると思います。

ちなみに、∇~2 A は、∇・∇A でないと、
行列の寸法が揃いませんよ。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございました！行列の寸法まで。誠にありがとうございました！

お礼日時：2009/08/02 10:46